Un escalar no negativo σ asociado a una aplicación lineal que cuantifica cuánto la aplicación estira o comprime vectores en direcciones ortogonales específicas; para una matriz real A, σ es la raíz cuadrada de un valor propio no negativo de A^T A.

Principio

Los valores singulares miden la amplificación de la norma en ejes ortogonales y se ordenan para captar las propiedades de escalado anisótropo de un operador lineal independientemente del signo o la fase.

Demostración

Para A = diag(2,-3) actuando en R^2, los valores singulares son 2 y 3, reflejando la deformación absoluta a lo largo de los ejes de coordenadas sin tener en cuenta la inversión de orientación en un eje.

Aplicación incorrecta

Confundir los valores singulares con información de signo o fase como algunas otras cantidades espectrales conduce a conclusiones erróneas sobre signo direccional o rotación; cuantifican solo magnitud.

Consecuencia

El control de los valores singulares proporciona cotas sobre normas de operadores, informa sobre el condicionamiento numérico mediante la razón del mayor al menor valor singular no nulo y cuantifica la sensibilidad de sistemas lineales frente a perturbaciones.

Inversión

A diferencia de invariantes firmados o complejos que registran orientación o fase, los valores singulares son siempre no negativos y resumen la magnitud del estiramiento sin signo direccional.

Límite

Definidos para matrices rectangulares y aplicaciones lineales acotadas entre espacios con producto interior; su existencia y ordenación dependen de una estructura de producto interior y de representaciones de A^T A (o de la composición adjunta correspondiente).

Tensión semántica

A menudo se comparan con información espectral sensible a la dirección; los valores singulares capturan la magnitud de la acción sobre normas, mientras que cantidades sensibles a dirección o fase capturan efectos de orientación o rotación.

Síntesis

Un valor singular es una medida no negativa de cómo una aplicación lineal amplifica la norma de vectores en direcciones ortogonales concretas, resumiendo el escalado anisótropo en magnitudes ordenadas.