Un scalaire non négatif σ associé à une application linéaire qui quantifie combien l'application étire ou compresse des vecteurs dans des directions orthogonales spécifiques ; pour une matrice réelle A, σ est la racine carrée d'une valeur propre non négative de A^T A.

Principe

Les valeurs singulières mesurent l'amplification de norme sur des axes orthogonaux et sont ordonnées pour capturer les propriétés d'étirement anisotrope d'un opérateur linéaire indépendamment du signe ou de la phase.

Démonstration

Pour A = diag(2,-3) agissant sur R^2, les valeurs singulières sont 2 et 3, reflétant l'étirement absolu le long des axes de coordonnées indépendamment de l'inversion d'orientation sur un axe.

Mauvaise application

Considérer les valeurs singulières comme portant de l'information de signe ou de phase, comme certaines autres quantités spectrales, conduit à des conclusions incorrectes sur le signe directionnel ou la rotation ; elles quantifient uniquement la magnitude.

Conséquence

Le contrôle des valeurs singulières donne des bornes sur les normes d'opérateur, informe sur le conditionnement numérique via le rapport de la plus grande à la plus petite valeur singulière non nulle, et quantifie la sensibilité des systèmes linéaires aux perturbations.

Inversion

À la différence des invariants signés ou complexes qui enregistrent orientation ou phase, les valeurs singulières sont toujours non négatives et résument la magnitude de l'étirement sans signe directionnel.

Limite

Définies pour des matrices rectangulaires et des opérateurs linéaires bornés entre espaces à produit scalaire ; leur existence et leur ordonnancement reposent sur une structure de produit scalaire et sur la représentation de A^T A (ou de la composition adjointe correspondante).

Tension sémantique

Souvent comparées à des informations spectrales sensibles à la direction ; les valeurs singulières saisissent la magnitude de l'action sur les normes, tandis que les quantités sensibles à la direction ou à la phase captent des effets d'orientation ou de rotation.

Synthèse

Une valeur singulière est une mesure non négative de la façon dont une application linéaire amplifie la norme des vecteurs selon des directions orthogonales particulières, résumant l'étirement anisotrope en grandeurs ordonnées.