Definición
La envolvente convexa de un conjunto S en un espacio vectorial real es el conjunto convexo más pequeño que contiene S; equivalentemente, es el conjunto de todas las combinaciones convexas finitas de puntos de S.
Principio
Principio
La envolvente convexa cierra un conjunto bajo combinaciones convexas — mezclar puntos con coeficientes no negativos que suman uno — produciendo así la supraconjunto convexo mínimo.
Demostración
Demostración
Dado tres puntos no colineales en R^2, su envolvente convexa es el triángulo rellenado con esos vértices; cada punto interior se puede escribir como λ1x1+λ2x2+λ3x3 con λi≥0 y ∑λi=1.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Confundir la envolvente convexa con la envolvente afín (que permite combinaciones lineales con coeficientes que suman uno pero admite negativos) o asumir que la envolvente convexa preserva propiedades topológicas como el cierre en dimensiones infinitas sin tomar el cierre.
Consecuencia
Consecuencia
Calcular envolventes convexas produce politopos o conjuntos convexos usados en optimización, funcionales de soporte y teoremas de separación; resultados tipo Carathéodory acotan el número de puntos necesarios para representar un elemento.
Inversión
Inversión
La noción complementaria es el conjunto de puntos extremos: mientras la envolvente convexa agrega puntos para formar interiores, extraer los extremos identifica los generadores irreducibles del conjunto convexo.
Límite
Límite
La definición presupone un espacio vectorial sobre R (o un cuerpo ordenado) y se aplica en dimensiones finitas o infinitas; en topologías infinitas hay que distinguir entre envolvente y envolvente convexa cerrada y considerar el cierre por límites.
Tensión semántica
Tensión semántica
Combinación convexa versus combinación lineal: las combinaciones convexas requieren coeficientes no negativos que suman uno y dan envolventes convexas, mientras que las combinaciones lineales permiten escalares negativos y producen espacios lineales — dos operaciones de cierre distintas.
Síntesis
Síntesis
La envolvente convexa es el conjunto convexo mínimo que contiene S, formada por todas las combinaciones convexas finitas de S y es la operación de cierre convexo fundamental en geometría y optimización.