Définition
L'enveloppe convexe d'un ensemble S dans un espace vectoriel réel est le plus petit ensemble convexe contenant S ; de façon équivalente, c'est l'ensemble de toutes les combinaisons convexes finies de points de S.
Principe
Principe
L'enveloppe convexe clôt un ensemble par combinaison convexe — mélange de points avec des coefficients non négatifs sommant à un — produisant ainsi le sur-ensemble convexe minimal.
Démonstration
Démonstration
Étant donné trois points non colinéaires dans R^2, leur enveloppe convexe est le triangle plein dont les sommets sont ces points ; tout point intérieur s'écrit λ1x1+λ2x2+λ3x3 avec λi≥0 et ∑λi=1.
Mauvaise application
Mauvaise application
Confondre enveloppe convexe et enveloppe affine (qui permet des combinaisons linéaires avec coefficients sommant à un mais autorise des négatifs) ou supposer que l'enveloppe convexe préserve des propriétés topologiques comme la clôture en dimensions infinies sans prendre la clôture.
Conséquence
Conséquence
Le calcul des enveloppes convexes produit des polyèdres ou ensembles convexes utilisés en optimisation, fonctionnelles de soutien et théorèmes de séparation ; les résultats de type Carathéodory bornent le nombre de points nécessaires pour représenter un élément.
Inversion
Inversion
La notion complémentaire est l'ensemble des points extrémaux : alors que l'enveloppe convexe agrège les points pour former les intérieurs, l'extraction des extrémaux identifie les générateurs irréductibles de l'ensemble convexe.
Limite
Limite
La définition présuppose un espace vectoriel sur R (ou un corps ordonné) et s'applique en dimension finie ou infinie ; en topologies infinies il faut distinguer enveloppe et enveloppe convexe fermée et considérer la clôture par limites.
Tension sémantique
Tension sémantique
Combinaison convexe versus combinaison linéaire : les combinaisons convexes exigent des coefficients non négatifs sommant à un, donnant les enveloppes convexes, tandis que les combinaisons linéaires autorisent des scalaires négatifs et produisent des spans linéaires — deux opérations de clôture distinctes.
Synthèse
Synthèse
L'enveloppe convexe est l'ensemble convexe minimal contenant S, formé de toutes les combinaisons convexes finies de S et constituant l'opération de clôture convexe fondamentale en géométrie et optimisation.