Subconjunto de un espacio topológico tal que toda cubierta abierta admite una subcubierta finita; en espacios métricos, equivalente a que toda sucesión tenga una subsecuencia convergente (compacidad secuencial) o a ser completo y totalmente acotado.

Principio

La compacidad organiza cubiertas infinitas en información finita: las propiedades globales de cobertura se reducen a un número finito de piezas locales, permitiendo argumentos de finitud para imágenes continuas y problemas de optimización.

Demostración

El intervalo cerrado [0,1] en la recta real: cualquier cubierta abierta de [0,1] posee una subcubierta finita, y cualquier sucesión en [0,1] tiene una subsecuencia convergente cuyo límite pertenece a [0,1].

Aplicación incorrecta

Considerar que la acotación basta para la compacidad en espacios normados de dimensión infinita (por ejemplo, la bola unidad en un espacio de Banach infinito es acotada pero no compacta).

Consecuencia

Las funciones continuas en un conjunto compacto alcanzan máximos y mínimos y son uniformemente continuas; las imágenes de conjuntos compactos por aplicaciones continuas son compactas, lo que conduce a muchos resultados de existencia y aproximación.

Inversión

Un conjunto no compacto admite una cubierta abierta sin subcubierta finita; en términos métricos puede contener una sucesión sin subsecuencia convergente (ejemplos: toda la recta real o un conjunto discreto no acotado).

Límite

Propiedad topológica: las definiciones y equivalencias dependen de la categoría ambiente (métrica frente a topológica general). La compacidad secuencial coincide con la compacidad por cubiertas en espacios métricos pero no en espacios topológicos arbitrarios; la compacidad no implica cardinalidad finita.

Tensión semántica

La compacidad suele confundirse con «cerrado y acotado» por el teorema de Heine–Borel en espacios euclidianos; esa caracterización falla en espacios métricos o topológicos generales, donde hay que distinguir total acotamiento y completitud.

Síntesis

Un conjunto compacto es un subconjunto topológico cuya conducta de cubrimiento global puede reducirse a un número finito de piezas locales, garantizando convergencia de subsecuencias en contextos métricos y habilitando propiedades de existencia y continuidad.