Sous-ensemble d'un espace topologique tel que toute recouvrement ouvert admet une sous-famille finie couvrante ; dans les espaces métriques, équivalemment un ensemble dont toute suite possède une sous-suite convergente (compacité séquentielle) ou qui est complet et totalement borné.

Principe

La compacité réduit des recouvrements potentiellement infinis à une information finie : les propriétés globales de recouvrement se ramènent à un nombre fini de morceaux locaux, permettant des arguments de finitude pour les images continues et l'optimisation.

Démonstration

L'intervalle fermé [0,1] sur la droite réelle : tout recouvrement ouvert de [0,1] possède une sous-famille finie qui le couvre, et toute suite dans [0,1] admet une sous-suite convergente dont la limite appartient à [0,1].

Mauvaise application

Considérer la seule bornitude comme suffisante pour la compacité dans des espaces normés de dimension infinie (par exemple, la boule unité d'un espace de Banach de dimension infinie est bornée mais non compacte).

Conséquence

Les fonctions continues sur un ensemble compact atteignent un maximum et un minimum et sont uniformément continues ; les images d'ensembles compacts par des applications continues sont compactes, ce qui entraîne de nombreux résultats d'existence et d'approximation.

Inversion

Un ensemble non compact admet un recouvrement ouvert sans sous-recouvrement fini ; en termes métriques, il peut contenir une suite sans sous-suite convergente (exemples : la droite réelle entière ou un ensemble discret non borné).

Limite

Propriété topologique : définitions et équivalences dépendent de la catégorie ambiante (métrique versus topologique générale). La compacité séquentielle coïncide avec la compacité par recouvrement dans les espaces métriques mais pas dans les espaces topologiques quelconques ; la compacité n'implique pas que l'ensemble ait une cardinalité finie.

Tension sémantique

On confond fréquemment compacité et « fermé et borné » à cause du théorème de Heine–Borel en espaces euclidiens ; cette caractérisation échoue en général dans des espaces métriques ou topologiques où la totale bornitude et la complétude doivent être distinguées.

Synthèse

Un ensemble compact est un sous-ensemble topologique dont le comportement de recouvrement global se réduit à un nombre fini de morceaux locaux, garantissant la convergence de sous-suites en contexte métrique et permettant les propriétés d'existence et de continuité.