Definición
El grupo de transformaciones de transporte paralelo obtenido al transportar vectores (o tramas) a lo largo de lazos cerrados en una variedad con una conexión dada; codifica la curvatura y las restricciones geométricas globales.
Principio
Principio
El transporte paralelo alrededor de lazos compone mapas lineales dependientes de la conexión; el conjunto de todos esos mapas con base en un punto forma el grupo de holonomía, cuya estructura refleja curvatura y topología.
Demostración
Demostración
En una esfera con la conexión de Levi-Civita, transportar paralelamente un vector tangente alrededor de un triángulo geodésico produce una rotación cuyo ángulo equivale al exceso esférico del triángulo — manifestación de holonomía no trivial.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Tratar la holonomía como un campo tensorial local; la holonomía es un grupo global de transformaciones y no puede especificarse por valores puntuales sin información sobre caminos.
Consecuencia
Consecuencia
La holonomía no trivial restringe la existencia de secciones paralelas, métricas especiales o grupos de estructura reducidos (por ejemplo, variedades de holonomía especial admiten espinores covariantes constantes), afectando la geometría y la física globales.
Inversión
Inversión
La holonomía trivial (grupo de holonomía reducido a la identidad) implica la planitud de la conexión en dominios simplemente conexos y la existencia de marcos paralelos globales.
Límite
Límite
Se define para conexiones en fibrados principales o vectoriales sobre variedades; no se aplica a reglas de transporte arbitrarias que carezcan de compatibilidad con una estructura de conexión lineal.
Tensión semántica
Tensión semántica
A veces se confunde con componentes del tensor de curvatura; la curvatura es el generador infinitesimal de la holonomía, mientras que la holonomía recopila los efectos finitos del transporte paralelo alrededor de lazos.
Síntesis
Síntesis
La holonomía es el grupo de transformaciones lineales producidas por el transporte paralelo a lo largo de lazos cerrados para una conexión dada, capturando la curvatura y las restricciones geométricas globales.