Le groupe des transformations de transport parallèle obtenues en transportant des vecteurs (ou cadres) le long de boucles fermées sur une variété munie d'une connexion ; il encode la courbure et des contraintes géométriques globales.

Principe

Le transport parallèle autour de boucles compose des applications linéaires dépendant de la connexion ; l'ensemble de toutes ces applications basées en un point forme le groupe d'holonomie, dont la structure reflète la courbure et la topologie.

Démonstration

Sur une sphère avec la connexion de Levi-Civita, le transport parallèle d'un vecteur tangent autour d'un triangle géodésique produit une rotation dont l'angle vaut l'excès sphérique du triangle — manifestation d'une holonomie non triviale.

Mauvaise application

Considérer l'holonomie comme une valeur tensorielle locale ; l'holonomie est un groupe global de transformations et ne peut être spécifiée par des valeurs pointuelles seules sans données de chemin.

Conséquence

Une holonomie non triviale contraint l'existence de sections parallèles, de métriques spéciales ou de groupes de structure réduits (par ex. les variétés à holonomie spéciale admettent des spineurs covariants constants), affectant la géométrie et la physique globales.

Inversion

Une holonomie triviale (groupe d'holonomie réduit à l'identité) implique la platitude de la connexion sur des domaines simplement connexes et l'existence de cadres parallèles globaux.

Limite

Définie pour des connexions sur fibrés principaux ou vectoriels au-dessus de variétés ; ne s'applique pas à des règles de transport arbitraires dépourvues de compatibilité avec une structure de connexion linéaire.

Tension sémantique

Parfois confondue avec les composantes du tenseur de courbure ; la courbure est le générateur infinitésimal de l'holonomie, tandis que l'holonomie rassemble les effets de transport parallèle finis autour de boucles.

Synthèse

L'holonomie est le groupe des transformations linéaires produites par le transport parallèle le long de boucles fermées pour une connexion donnée, capturant la courbure et les contraintes géométriques globales.