El operador lineal (a menudo infinito‑dimensional) U que adelanta observables de un sistema dinámico por composición con el flujo o la aplicación: (U g)(x)=g(f(x)) para una aplicación discreta x↦f(x) o (U^t g)=g∘Φ^t para un flujo continuo Φ^t; codifica la evolución no lineal del estado como acción lineal sobre funciones del estado.

Principio

Pushforward de observables: en lugar de evolucionar puntos en el espacio de estados, se considera cómo se transportan los observables escalares; el operador de Koopman es lineal porque la composición con la aplicación determinista es lineal en el espacio vectorial de funciones.

Demostración

Para una rotación del círculo θ_{n+1}=θ_n+ω mod 2π, el operador de Koopman actúa sobre observables de Fourier e^{ikθ} por multiplicación e^{ikω}; sus autofunciones son los modos de Fourier y los autovalores factores de fase e^{ikω}, revelando frecuencias persistentes.

Aplicación incorrecta

Suponer que una aproximación truncada en dimensión finita (proyección en una base) del operador de Koopman capturará toda la dinámica sin verificar clausura o convergencia, lo que conduce a error de modelo y modos espurios.

Consecuencia

Proporciona un marco para aplicar teoría espectral lineal a sistemas no lineales: autofunciones y autovalores de U identifican estructuras coherentes, conjuntos invariantes y componentes oscilatorias; motiva métodos basados en datos como Dynamic Mode Decomposition.

Inversión

El operador de Perron–Frobenius es el objeto dual que actúa sobre densidades (medidas) por pullback; enfatiza la evolución de conjuntos de estados más que la de observables y ofrece información espectral complementaria.

Límite

Definido en espacios de observables elegidos (p. ej. L^2, funciones continuas); las propiedades y la descomposición espectral dependen de esa elección y de medidas invariantes — las representaciones lineales en dimensión finita son típicamente aproximaciones y pueden fallar para sistemas no lineales genéricos.

Tensión semántica

Comparar con la linealización en el espacio de estados (basada en el jacobiano): Koopman es una representación lineal global en el espacio de observables, mientras que la linealización por jacobiano es una aproximación lineal local en coordenadas de estado.

Síntesis

El operador de Koopman es el pushforward lineal sobre observables inducido por la dinámica, convirtiendo la evolución no lineal del estado en la acción de un operador lineal cuyo espectro expone patrones dinámicos.