L'opérateur linéaire (souvent de dimension infinie) U qui fait avancer les observables d'un système dynamique par composition avec le flot ou l'application : (U g)(x)=g(f(x)) pour une application discrète x↦f(x) ou (U^t g)=g∘Φ^t pour un flot continu Φ^t ; il encode l'évolution non linéaire des états comme action linéaire sur les fonctions d'état.

Principe

Propulsion (pushforward) des observables : au lieu de faire évoluer les points de l'espace d'états, on considère comment les observables scalaire sont transportées ; l'opérateur de Koopman est linéaire parce que la composition avec l'application déterministe est linéaire sur l'espace vectoriel des fonctions.

Démonstration

Pour une rotation du cercle θ_{n+1}=θ_n+ω modulo 2π, l'opérateur de Koopman agit sur les observables de Fourier e^{ikθ} par multiplication e^{ikω} ; ses autofonctions sont les modes de Fourier et les valeurs propres sont des facteurs de phase e^{ikω}, révélant des fréquences persistantes.

Mauvaise application

Prétendre qu'une approximation tronquée en dimension finie (projection sur une base) de l'opérateur de Koopman capture toute la dynamique sans vérifier la clôture ou la convergence, ce qui entraîne des erreurs de modèle et des modes fantômes.

Conséquence

Fournit un cadre pour appliquer la théorie spectrale linéaire aux systèmes non linéaires : les autofonctions et valeurs propres de U identifient des structures cohérentes, des ensembles invariants et des composantes oscillatoires ; il motive des méthodes fondées sur les données comme la Dynamic Mode Decomposition.

Inversion

L'opérateur de Perron–Frobenius (opérateur de transfert) est l'objet dual agissant sur les densités (mesures) par pullback ; il met l'accent sur l'évolution d'ensemble plutôt que sur les observables et fournit des informations spectrales complémentaires.

Limite

Défini sur des espaces d'observables choisis (par ex. L^2, fonctions continues) ; les propriétés et la décomposition spectrale dépendent de ce choix et des mesures invariantes — les représentations linéaires en dimension finie sont typiquement des approximations et peuvent échouer pour des systèmes non linéaires génériques.

Tension sémantique

Comparer avec la linéarisation dans l'espace d'état (basée sur le jacobien) : Koopman est une représentation linéaire globale dans l'espace des observables agissant sur des fonctions, tandis que la linéarisation par le jacobien est une approximation linéaire locale des trajectoires en coordonnées d'état.

Synthèse

L'opérateur de Koopman est le pushforward linéaire sur les observables induit par la dynamique, transformant l'évolution non linéaire des états en action d'un opérateur linéaire dont le spectre révèle des motifs dynamiques.