El espacio de Banach de funciones en un dominio cuyas derivadas débiles hasta el orden entero k pertenecen a L^p; equipado con la norma que combina las normas L^p de todas las derivadas de orden ≤ k, codifica tanto integrabilidad como regularidad (débil).

Principio

Definir derivadas débiles en el sentido de distribuciones, exigir que cada derivada de orden ≤ k pertenezca a L^p y completar C_c^∞ (o C^∞) bajo la norma ||u||_{W^{k,p}} = (∑_{|α|≤k} ||D^α u||_{L^p}^p)^{1/p} (o el análogo de suma p) para obtener W^{k,p}.

Demostración

W^{1,2}(Ω) en un dominio acotado con frontera Lipschitz Ω es el espacio de energía estándar para EDP elípticas; las soluciones con energía de Dirichlet finita pertenecen a W^{1,2}, lo que permite formulaciones variacionales e incrustaciones compactas en L^2 o espacios de Hölder bajo condiciones dependientes de la dimensión.

Aplicación incorrecta

Tratar la pertenencia a un espacio de Sobolev como diferenciabilidad puntual en todos los puntos —afirmar que existen derivadas clásicas en todo punto— o ignorar cuestiones de traza en la frontera y de extensión al aplicar teoremas de incrustación en dominios irregulares.

Consecuencia

Los espacios de Sobolev proporcionan el entorno funcional natural para formulaciones débiles de EDP, resultados de interpolación y compacidad, y teoría de regularidad; el control de las normas W^{k,p} proporciona estimaciones cuantitativas sobre soluciones y sus derivadas en sentido débil.

Inversión

Contrástese con los espacios C^k o C^{k,α} de funciones clásicamente diferenciables: los espacios de Sobolev relajan la diferenciabilidad puntual a favor de derivadas débiles integrables, de modo que las funciones pueden ser menos regulares puntualmente mientras siguen siendo tratables por métodos variacionales.

Límite

Definido en relación con un dominio y la medida de Lebesgue; las propiedades dependen de la regularidad del dominio, del exponente de integrabilidad p y del orden derivativo k. Para órdenes fraccionarios o regularidad no entera se emplean espacios de Besov o espacios de Sobolev fraccionarios.

Tensión semántica

Se compara a menudo con las escalas de Hölder y Besov: los espacios de Sobolev enfatizan la integrabilidad de las derivadas y son naturales para la teoría de EDP basada en L^p, mientras que los espacios de Hölder capturan la regularidad puntual y la continuidad, conduciendo a distintas conclusiones de incrustación.

Síntesis

W^{k,p} es el espacio de Banach de funciones cuyas derivadas en el sentido de distribuciones hasta el orden k pertenecen a L^p, proporcionando el marco canónico integrabilidad–regularidad para soluciones débiles, análisis variacional y estimaciones en EDP.