L'espace de Banach des fonctions sur un domaine dont les dérivées faibles d'ordre entier ≤ k appartiennent à L^p ; muni de la norme combinant les normes L^p de toutes les dérivées d'ordre ≤ k, il encode à la fois l'intégrabilité et la régularité (faible).

Principe

Définir les dérivées faibles au sens des distributions, exiger que chaque dérivée d'ordre ≤ k appartienne à L^p, et compléter C_c^∞ (ou C^∞) pour la norme ||u||_{W^{k,p}} = (∑_{|α|≤k} ||D^α u||_{L^p}^p)^{1/p} (ou l'analogue en somme p) pour obtenir W^{k,p}.

Démonstration

W^{1,2}(Ω) sur un domaine Ω à bord Lipschitz borné est l'espace d'énergie usuel pour les EDP elliptiques ; les solutions d'énergie de Dirichlet finie appartiennent à W^{1,2}, permettant des formulations variationnelles et des plongements compacts dans L^2 ou des espaces de Hölder sous conditions dépendant de la dimension.

Mauvaise application

Considérer l'appartenance à un espace de Sobolev comme impliquant une différentiabilité pointwise partout — affirmer que des dérivées classiques existent en tout point — ou ignorer les questions de trace et d'extension aux bords lors de l'application des théorèmes d'injection sur des domaines irréguliers.

Conséquence

Les espaces de Sobolev fournissent le cadre fonctionnel naturel pour les formulations faibles des EDP, l'interpolation et les résultats de compacité, et la théorie de régularité ; le contrôle des normes W^{k,p} donne des estimations quantitatives sur les solutions et leurs dérivées au sens faible.

Inversion

À opposer aux espaces C^k ou C^{k,α} de fonctions classiquement différentiables : les espaces de Sobolev relâchent la différentiabilité pointwise en faveur de dérivées faibles intégrables, de sorte que les fonctions peuvent être moins régulières ponctuellement tout en restant maniables par des méthodes variationnelles.

Limite

Défini relativement à un domaine et à la mesure de Lebesgue ; les propriétés dépendent de la régularité du domaine, de l'exposant d'intégrabilité p et de l'ordre k des dérivées. Pour des ordres fractionnaires ou une régularité non entière, on utilise des espaces de Besov ou des espaces de Sobolev fractionnaires.

Tension sémantique

Souvent comparé aux échelles de Hölder et de Besov : les espaces de Sobolev mettent l'accent sur l'intégrabilité des dérivées et sont naturels pour la théorie des EDP en L^p, tandis que les espaces de Hölder captent la régularité pointwise et la continuité, conduisant à des conclusions d'injection différentes.

Synthèse

W^{k,p} est l'espace de Banach des fonctions dont les dérivées au sens des distributions jusqu'à l'ordre k appartiennent à L^p, fournissant le cadre canonique intégrabilité–régularité pour les solutions faibles, l'analyse variationnelle et les estimations en EDP.