Una estructura combinatoria dada por una colección K de conjuntos finitos (llamados símplices) sobre un conjunto de vértices V tal que cada singleton de vértice pertenece a K y K está cerrada bajo la toma de subconjuntos no vacíos: si σ∈K y τ⊆σ entonces τ∈K. Los símplices se organizan por dimensión (|σ|−1).

Principio

Construir información topológica a partir de bloques combinatorios (vértices, aristas, triángulos, etc.) exigiendo el cierre por caras de modo que la intersección de símplices sea nuevamente un símplice (una cara).

Demostración

Un triángulo con sus tres aristas y tres vértices es un complejo simplicial de dimensión 2. El complejo de cliques de un grafo toma cada subgrafo completo como símplice; la frontera de un tetraedro da un 2-complejo homeomorfo a una esfera.

Aplicación incorrecta

Confundir complejos simpliciales con hipergrafos arbitrarios (que no están necesariamente cerrados por subconjuntos), suponer una incrustación geométrica única, o tratar cualquier colección de símplices sin comprobar el cierre por caras como un complejo.

Consecuencia

Los complejos simpliciales proporcionan modelos discretos de espacios topológicos que permiten el cálculo de homología, aproximaciones de homotopía mediante subdivisiones, la característica de Euler y construcciones combinatorias como el nervio y la subdivisión baricéntrica.

Inversión

Invertir hacia un complejo CW o complejo celular donde las aplicaciones de adhesión no son necesariamente simpliales y el cierre por caras combinatorio se reemplaza por datos de adhesión; o hacia un hipergrafo donde se abandona el cierre por subconjuntos.

Límite

Se aplica a colecciones finitas o localmente finitas de símplices finitos cerradas por caras; excluye complejos celulares arbitrarios, colecciones no cerradas por subconjuntos y estructuras que requieran mapas de adherencia continuos en lugar de caras combinatorias.

Tensión semántica

Complejo simplicial versus triangulación: un complejo es un objeto combinatorio, una triangulación es un homeomorfismo de la realización geométrica de un complejo sobre un espacio topológico. Frente al hipergrafo: al hipergrafo le falta el cierre por caras.

Síntesis

Un complejo simplicial organiza un espacio en símplices y sus caras: conjuntos finitos cerrados por subconjuntos que codifican topología de forma combinatoria, permitiendo invariantes algebraicos y construcciones discretas que aproximan espacios continuos.