Une structure combinatoire donnée par une collection K d'ensembles finis (appelés simplexes) sur un ensemble de sommets V telle que chaque singleton de sommet appartient à K et que K soit fermée par prise de sous-ensembles non vides : si σ∈K et τ⊆σ alors τ∈K. Les simplexes sont classés par dimension (|σ|−1).

Principe

Construire l'information topologique à partir d'éléments combinatoires (sommets, arêtes, triangles, etc.) en exigeant la fermeture par faces de sorte que l'intersection de simplexes soit encore un simplexe (une face).

Démonstration

Un triangle avec ses trois arêtes et ses trois sommets est un complexe simplicial de dimension 2. Le complexe des cliques d'un graphe prend chaque sous-graphe complet comme simplexe ; la frontière d'un tétraèdre donne un 2-complexe homéomorphe à une sphère.

Mauvaise application

Confondre complexes simpliciaux et hypergraphes arbitraires (qui n'ont pas nécessairement la fermeture par sous-ensembles), ou supposer un plongement géométrique unique ; traiter toute collection de simplexes sans vérifier la fermeture par faces comme un complexe.

Conséquence

Les complexes simpliciaux fournissent des modèles discrets d'espaces topologiques permettant le calcul d'homologie, des approximations d'homotopie via subdivisions, la caractéristique d'Euler et des constructions combinatoires comme le nerf et la subdivision barycentrique.

Inversion

Inversez vers un complexe CW ou un complexe cellulaire où les applications d'attachement ne sont pas nécessairement simpliciales et la fermeture par faces combinatoire est remplacée par des données d'attachement ; ou vers un hypergraphe où la fermeture par sous-ensembles est abandonnée.

Limite

S'applique à des collections finies ou localement finies de simplexes finis fermées par faces ; exclut les complexes cellulaires arbitraires, les collections non fermées par sous-ensembles et les structures nécessitant des applications d'attachement continues plutôt que des faces combinatoires.

Tension sémantique

Complexe simplicial versus triangulation : un complexe est un objet combinatoire, une triangulation est un homéomorphisme de la réalisation géométrique d'un complexe sur un espace topologique. Par rapport à l'hypergraphe : l'hypergraphe n'a pas la fermeture par faces.

Synthèse

Un complexe simplicial organise un espace en simplexes et leurs faces : des ensembles finis fermés par sous-ensembles encodent la topologie de manière combinatoire, permettant des invariants algébriques et des constructions discrètes qui approximent les espaces continus.