Definición
El rango de una matriz o transformación lineal es la dimensión de su imagen (espacio columna), equivalente al número máximo de columnas o filas linealmente independientes. Mide cuántas direcciones independientes el operador alcanza.
Principio
Principio
El rango cuantifica la independencia lineal de las salidas; para una aplicación lineal V→W entre espacios vectoriales de dimensión finita, rango + nulidad = dim(dominio) (teorema rango‑nulidad).
Demostración
Demostración
La matriz B = [[1,2,3],[2,4,6]] tiene rango 1 porque la segunda fila es el doble de la primera; el espacio columna es unidimensional.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Asumir que el número de entradas no nulas aproxima el rango, o tratar el número de filas como rango sin reducir por filas; o calcular rango sobre anillos donde la teoría de módulos complica la noción de dimensión.
Consecuencia
Consecuencia
El rango determina la resolubilidad de sistemas lineales (las soluciones existen si el término derecho está en el espacio columna), indica invertibilidad (rango completo en matrices cuadradas) y controla los grados de libertad en modelos lineales.
Inversión
Inversión
La noción opuesta enfatiza la deficiencia: corango o nulidad mide dimensiones perdidas; un operador de rango completo tiene núcleo trivial, mientras las aproximaciones de bajo rango reducen la dimensionalidad.
Límite
Límite
Definido para aplicaciones lineales entre espacios vectoriales finitos y mediante generalizaciones (rango de operador, rango tensorial); sobre módulos o en dimensiones infinitas se requieren matices y algunas igualdades fallan.
Tensión semántica
Tensión semántica
Compite con el 'rango tensorial' (descomposición mínima en tensores simples) y con conceptos numéricos como 'rango efectivo'; en contextos matriciales simples coinciden, pero divergen en estructuras más complejas.
Síntesis
Síntesis
El rango es la dimensión de la imagen de un operador lineal: un recuento independiente de la base de las direcciones de salida que, junto con la nulidad, reparte la dimensión del dominio y gobierna la resolubilidad e invertibilidad en álgebra lineal finita.