Le rang d'une matrice ou d'une transformation linéaire est la dimension de son image (espace engendré par les colonnes), équivalente au nombre maximal de colonnes ou de lignes linéairement indépendantes. Il mesure le nombre de directions indépendantes atteintes par l'application.

Principe

Le rang quantifie l'indépendance linéaire des sorties ; pour une application linéaire V→W entre espaces vectoriels de dimension finie, rang + nullité = dim(domaine) (théorème du rang‑nullité).

Démonstration

La matrice B = [[1,2,3],[2,4,6]] a rang 1 car la seconde ligne est le double de la première ; l'espace des colonnes est de dimension un.

Mauvaise application

Supposer que le nombre d'éléments non nuls approcherait le rang, ou prendre le nombre de lignes comme rang sans réduction de lignes ; ou calculer le rang sur un anneau où la théorie des modules complique la notion de dimension.

Conséquence

Le rang détermine la résolution des systèmes linéaires (les solutions existent si le second membre est dans l'espace des colonnes), indique l'inversibilité (rang maximal pour une matrice carrée) et contrôle les degrés de liberté dans les modèles linéaires.

Inversion

La notion opposée met l'accent sur la déficience : le corang ou la nullité mesure les dimensions perdues ; une application de rang plein a un noyau trivial, tandis que les approximations de rang faible réduisent la dimensionalité.

Limite

Défini pour des applications linéaires entre espaces vectoriels de dimension finie et via des généralisations (rang d'opérateur, rang tensoriel) ; sur des modules ou en dimension infinie des subtilités apparaissent et certaines égalités échouent.

Tension sémantique

Concurrence avec le 'rang tensoriel' (décomposition minimale en tenseurs simples) et l''effective rank' numérique utilisé en approximation ; ces notions coïncident dans des contextes matriciels simples mais divergent pour des objets structurés ou d'ordre supérieur.

Synthèse

Le rang est la dimension de l'image d'un opérateur linéaire : un compte indépendant de la base des directions de sortie indépendantes qui, avec la nullité, partitionne la dimension du domaine et régit la résolution et l'inversibilité en algèbre linéaire finie.