Conjunto de resultados probabilísticos que afirman que la media muestral de muchas variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas converge (en probabilidad, casi seguro o en otros modos) al valor esperado común a medida que crece el tamaño de la muestra.

Principio

Ensayos independientes repetidos con la misma distribución estabilizan las medias empíricas: las fluctuaciones aleatorias se promedian, de modo que la media empírica se aproxima a la esperanza teórica en el límite de gran muestra.

Demostración

Ejemplo de ley débil: para variables iid con media finita, para cualquier ε>0 la probabilidad de que la media muestral se desvíe de la esperanza en más de ε tiende a cero cuando n→∞. La ley fuerte refuerza esto a convergencia casi segura bajo condiciones de integrabilidad moderadas.

Aplicación incorrecta

Interpretar la LGN como una garantía a corto plazo (falacia del jugador o asumir que un número fijo de ensayos basta para certeza práctica) es erróneo; la dependencia entre ensayos, distribuciones no idénticas o esperanza infinita invalidan las conclusiones estándar.

Consecuencia

Proporciona la justificación teórica para usar medias muestrales para estimar esperanzas y sustenta la inferencia estadística y la estabilización frecuente; también delimita los límites de la predictibilidad en procesos aleatorios.

Inversión

En contextos con colas pesadas (esperanza infinita) o fuerte dependencia, las medias muestrales pueden no converger o hacerlo a límites distintos; el escenario inverso resalta la importancia de hipótesis como independencia y momentos finitos.

Límite

Se aplica bajo hipótesis como independencia (o formas apropiadas de dependencia débil), distribución idéntica (o condiciones de arreglos triangulares) y condiciones de momentos adecuadas; fuera de ellas se necesitan leyes modificadas u otros teoremas límite.

Tensión semántica

Contrasta con declaraciones tipo teorema del límite central sobre fluctuaciones alrededor de la media: la LGN dice que la media se estabiliza, mientras que el TCL cuantifica la escala y distribución de las fluctuaciones residuales; aparece tensión al elegir la descripción límite pertinente.

Síntesis

La ley de los grandes números formaliza la idea de que las medias empíricas convergen a las esperanzas a medida que aumenta la muestra bajo condiciones habituales: fundamenta tratar frecuencias como estimadores de probabilidades y advierte que las hipótesis importan para la validez.