Ensemble de résultats probabilistes affirmant que la moyenne empirique d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées converge (en probabilité, presque sûrement, ou selon d'autres modes) vers l'espérance commune lorsque la taille de l'échantillon croît.

Principe

Les répétitions indépendantes d'expériences de même loi stabilisent les moyennes empiriques : les fluctuations aléatoires s'annulent en moyenne de sorte que la moyenne empirique approche l'espérance théorique à la limite des grands échantillons.

Démonstration

Exemple loi faible : pour des variables iid de moyenne finie, pour tout ε>0 la probabilité que la moyenne empirique s'écarte de l'espérance de plus de ε tend vers zéro quand n→∞. La loi forte renforce ceci en fournissant la convergence presque sûre sous des conditions d'intégrabilité raisonnables.

Mauvaise application

Interpréter la LGN comme une garantie à court terme (erreur du joueur ou supposer qu'un nombre fini d'essais suffit pour une certitude pratique) est erroné ; la dépendance entre essais, des lois non identiques ou une espérance infinie rendent invalides les conclusions standard de la LGN.

Conséquence

Fournit la justification théorique pour utiliser les moyennes d'échantillons comme estimateurs d'espérance et sous-tend l'inférence statistique et la stabilisation fréquentiste ; elle délimite aussi les limites de la prédictibilité dans les processus aléatoires.

Inversion

Dans des contextes à queues lourdes (espérance infinie) ou à forte dépendance, les moyennes d'échantillon peuvent ne pas converger ou converger vers d'autres limites ; le scénario inverse souligne l'importance d'hypothèses comme l'indépendance et la finitude des moments.

Limite

S'applique sous des hypothèses telles que l'indépendance (ou des formes de dépendance faible), la même loi (ou des conditions de tableau triangulaire) et des conditions de moments appropriées ; en dehors de cela, des lois modifiées ou des théorèmes limites différents sont nécessaires.

Tension sémantique

Se distingue des énoncés de type théorème central limite qui traitent des fluctuations autour de la moyenne : la LGN dit que la moyenne se stabilise, tandis que le TCL quantifie l'échelle et la distribution des fluctuations restantes ; la tension apparaît en choisissant la description limite pertinente.

Synthèse

La loi des grands nombres formalise l'idée que les moyennes empiriques convergent vers les valeurs attendues lorsque la taille de l'échantillon augmente sous conditions régulières : elle fonde le traitement des fréquences comme estimateurs de probabilités tout en avertissant que les hypothèses déterminent la validité.