Un método de aproximación basado en proyección para resolver ecuaciones diferenciales e integrales: se selecciona un espacio de prueba de dimensión finita y se exige que el residuo (el operador aplicado a la solución aproximada menos los datos) sea ortogonal a un espacio de test elegido, lo que da un sistema finito para los coeficientes de expansión.

Principio

Aproximar el problema de dimensión infinita restringiendo soluciones a un subespacio finito y exigir que el residuo sea ortogonal al espacio de test (a menudo igual al espacio trial); esto proyecta el problema en un subproblema finito preservando la estructura variacional cuando existe.

Demostración

Método de elementos finitos: elegir funciones base polinomiales por tramos en una malla como espacios trial/test; imponer la forma débil de −(p u')' = f de modo que ∫(p u'_h v') dx = ∫ f v dx para todas las funciones test v en el espacio; resolver el sistema lineal resultante para los coeficientes de u_h.

Aplicación incorrecta

Elegir espacios trial/test incompatibles (conduce a inestabilidad), ignorar condiciones de contorno en la forma débil, o usar Galerkin con espacios simétricos en problemas dominados por convección donde se necesita upwinding o variantes Petrov–Galerkin; esperar convergencia espectral sin suficiente regularidad o base adecuada.

Consecuencia

Produce discretizaciones sistemáticas y convergentes bajo condiciones apropiadas de aproximación y estabilidad (estimaciones tipo Céa); unifica muchos métodos (FEM, Galerkin espectral, aproximaciones variacionales) y preserva propiedades de conservación/variacionales cuando se respeta la forma débil.

Inversión

Los métodos de collocation o de mínimos cuadrados imponen el residuo en puntos o minimizan su norma en lugar de imponer ortogonalidad; Petrov–Galerkin generaliza Galerkin usando espacios de test distintos para mejorar la estabilidad.

Límite

Se aplica a problemas que admiten una formulación débil/variacional o una visión de operador donde la proyección tenga sentido; no es universalmente óptimo (por ejemplo, algunos problemas no auto-adjuntos, dominados por convección o no lisos requieren modificaciones), y el éxito depende de la elección de la base y la estrategia de malla/raffinamiento.

Tensión semántica

Tensión entre Galerkin (proyección basada en ortogonalidad) y otras filosofías de aproximación (collocation puntual, minimización de la norma del residuo o discretización directa). También existe confusión entre Galerkin como receta general y sus instancias específicas (FEM, métodos espectrales).

Síntesis

El método de Galerkin aproxima problemas operacionales de dimensión infinita proyectando sobre subespacios finitos e imponiendo la ortogonalidad del residuo; con elección adecuada de espacios ofrece discretizaciones estables y convergentes que respetan la estructura variacional, mientras que variantes (Petrov–Galerkin, esquemas estabilizados) abordan inestabilidades y no auto-adjunción.