Une méthode d'approximation par projection pour résoudre des équations différentielles et intégrales : on choisit un espace de type fini et on impose que le résidu (l'opérateur appliqué à la solution approchée moins les données) soit orthogonal à un espace de test choisi, ce qui donne un système fini pour les coefficients d'expansion.

Principe

Approximer le problème de dimension infinie en restreignant les solutions à un sous-espace de dimension finie et exiger que le résidu soit orthogonal à l'espace de test (souvent égal à l'espace de trial) ; cela projette le problème sur un sous-problème fini tout en préservant la structure variationnelle si elle existe.

Démonstration

Méthode des éléments finis : choisir des fonctions de base polynomiales par morceaux sur un maillage comme espaces trial/test ; imposer la forme faible de −(p u')' = f de sorte que ∫(p u'_h v') dx = ∫ f v dx pour tout v dans l'espace de test ; résoudre le système linéaire obtenu pour les coefficients de u_h.

Mauvaise application

Choisir des espaces trial/test incompatibles (entraînant l'instabilité), ignorer les conditions aux limites dans la forme faible, ou utiliser Galerkin avec espaces symétriques sur des problèmes dominés par la convection où on a besoin d'upwinding ou de variantes Petrov–Galerkin ; attendre une convergence spectrale sans régularité suffisante ou base appropriée.

Conséquence

Fournit des discrétisations systématiques et convergentes sous conditions d'approximation et de stabilité (estimations de type Céa) ; unifie de nombreuses méthodes (FEM, Galerkin spectral, approximations variationnelles) et préserve des propriétés de conservation/variation lorsque la forme faible est respectée.

Inversion

Les méthodes de collocation ou des moindres carrés imposent le résidu en des points ou minimisent sa norme plutôt que d'imposer l'orthogonalité ; Petrov–Galerkin généralise Galerkin en utilisant des espaces de test différents pour améliorer la stabilité.

Limite

S'applique aux problèmes admettant une formulation faible/variationnelle ou une vue opérateur où la projection a du sens ; elle n'est pas universellement optimale (par ex. certains problèmes non auto-adjoints, dominés par la convection, ou non lisses nécessitent des modifications) et le succès dépend du choix de base et de la stratégie de maillage/raffinement.

Tension sémantique

Tension entre Galerkin (projection par orthogonalité) et d'autres philosophies d'approximation (collocation ponctuelle, minimisation de la norme du résidu, ou discrétisation directe). Il existe aussi une confusion entre Galerkin comme recette générale et ses instances spécifiques (FEM, méthodes spectrales).

Synthèse

La méthode de Galerkin approxime des problèmes opérateurs de dimension infinie en projetant sur des sous-espaces de dimension finie et en imposant l'orthogonalité du résidu ; avec un choix d'espaces adapté elle fournit des discrétisations stables et convergentes respectant la structure variationnelle, tandis que des variantes (Petrov–Galerkin, schémas stabilisés) traitent instabilités et non-auto-adjonction.