Una técnica asintótica para aproximar integrales con integrandos altamente oscilatorios aislando y desarrollando las contribuciones de los puntos donde la fase oscilatoria tiene derivada nula (puntos estacionarios).

Principio

Cuando una integral oscilatoria contiene un parámetro grande multiplicando una fase suave, los vecindarios de los puntos donde la derivada de la fase se anula contribuyen coherentemente y dominan la integral; las contribuciones alejadas de esos puntos se cancelan por oscilación rápida.

Demostración

Para I(k)=∫ a(x) e^{i k φ(x)} dx con k→∞ y φ'(x0)=0, expandir φ y a cerca de x0 y evaluar integrales de tipo gaussiano conduce a términos asintóticos principales proporcionales a k^{-m/2} (m depende de la no degeneración).

Aplicación incorrecta

Aplicar la aproximación de fase estacionaria cuando los puntos estacionarios no están aislados, la fase no es suave o la amplitud a(x) tiene singularidades en el punto estacionario; estas situaciones pueden producir estimaciones cualitativamente incorrectas.

Consecuencia

Una serie asintótica controlada que ofrece el comportamiento dominante y (a menudo) correcciones sucesivas al aumentar el parámetro grande; útil para predecir escalas y patrones oscilatorios pero no valores exactos en parámetros moderados.

Inversión

Invertir al régimen sin una fase grande: entonces la integral queda gobernada por la forma global del integrando en lugar de por puntos estacionarios aislados y requiere otras aproximaciones (por ejemplo, integración numérica directa o métodos tipo Laplace).

Límite

Válida cuando la fase φ y la amplitud a son suficientemente lisas, los puntos estacionarios son no degenerados o se tratan con expansiones degeneradas conocidas, y un parámetro grande multiplica la fase; excluye muchos casos singulares, no diferenciables o con muchos puntos estacionarios.

Tensión semántica

A menudo se confunde con métodos de descenso más pronunciado (puntos de silla); la fase estacionaria es una visión en el eje real centrada en φ'(x)=0, mientras que el descenso pronunciado enfatiza la deformación de contorno en el plano complejo y la decadencia exponencial a lo largo de trayectorias seleccionadas.

Síntesis

El método de la fase estacionaria identifica puntos estacionarios de una fase suave en integrales oscilatorias y construye expansiones locales allí; bajo regularidad y la hipótesis de un parámetro grande proporciona las contribuciones asintóticas dominantes y una jerarquía de correcciones, pero debe adaptarse o abandonarse si fallan las hipótesis.