Une technique asymptotique pour approximer des intégrales à intégrande fortement oscillatoire en isolant et en développant les contributions des points où la phase oscillatoire a une dérivée nulle (points stationnaires).

Principe

Lorsque l'intégrale oscillatoire comporte un grand paramètre multipliant une phase lisse, les voisinages des points où la dérivée de la phase s'annule contribuent de manière cohérente et dominent l'intégrale ; les contributions hors de ces voisinages s'annulent par oscillations rapides.

Démonstration

Pour I(k)=∫ a(x) e^{i k φ(x)} dx avec k→∞ et φ'(x0)=0, développer φ et a autour de x0 et évaluer des intégrales de type gaussien conduit aux termes asymptotiques principaux proportionnels à k^{-m/2} (m dépend de la non-dégénérescence).

Mauvaise application

Appliquer l'approximation de phase stationnaire lorsque les points stationnaires ne sont pas isolés, lorsque la phase n'est pas lisse, ou lorsque l'amplitude a(x) a des singularités au point stationnaire ; ces cas peuvent donner des estimations qualitativement incorrectes.

Conséquence

Une série asymptotique contrôlée donnant le comportement d'ordre dominant et (souvent) des corrections successives lorsque le paramètre grand augmente ; utile pour prédire l'échelle et les motifs oscillatoires mais pas les valeurs exactes pour des paramètres modérés.

Inversion

Inverser vers le régime sans grande phase : l'intégrale est alors gouvernée par la forme globale de l'intégrande plutôt que par des points stationnaires isolés et nécessite d'autres approximations (par ex. intégration numérique directe ou méthodes de type Laplace).

Limite

Valide lorsque la phase φ et l'amplitude a sont suffisamment lisses, les points stationnaires non dégénérés ou traités par des développements dégénérés connus, et qu'un grand paramètre multiplie la phase ; exclut de nombreux cas singuliers, non différentiables ou comportant un grand nombre de points stationnaires.

Tension sémantique

Souvent confondue avec les méthodes de descente la plus raide (selle) ; la phase stationnaire est une perspective sur l'axe réel centrée sur φ'(x)=0, tandis que la descente la plus raide privilégie la déformation de contour dans le plan complexe et la décroissance exponentielle.

Synthèse

La méthode de la phase stationnaire identifie les points stationnaires d'une phase lisse dans les intégrales oscillatoires et y construit des développements locaux ; sous régularité et hypothèse de grand paramètre, elle fournit les contributions asymptotiques dominantes et une hiérarchie de corrections, mais doit être adaptée ou abandonnée si les hypothèses échouent.