Un punto x en un espacio topológico es un punto de acumulación (o punto límite) de un conjunto S si todo entorno de x contiene al menos un punto de S distinto de x; equivalentemente x pertenece al conjunto derivado S'.

Principio

Los puntos de acumulación capturan límites de sucesiones o redes provenientes del conjunto sin requerir pertenencia; reflejan la presencia local infinita de S cerca de x y son centrales para cierre, convergencia y argumentos de compacidad.

Demostración

En la recta real, la sucesión 1/n se acumula en 0: cualquier intervalo alrededor de 0 contiene infinitos 1/n. Por el contrario, puntos aislados como 5 en {5} no son puntos de acumulación.

Aplicación incorrecta

Tratar los puntos de acumulación como sinónimo de puntos de cierre que deben pertenecer a S puede engañar: un punto de acumulación no tiene por qué estar en S (p. ej. 0 respecto a {1/n}), y confundir con puntos aislados mezcla la finitud local.

Consecuencia

El uso correcto identifica dónde pueden converger sucesiones, dónde las operaciones límite generan nuevos puntos, y ayuda a clasificar conjuntos (el cierre es S ∪ S') y a caracterizar la compacidad (todo subconjunto infinito de un espacio métrico compacto tiene un punto de acumulación).

Inversión

Considerar sólo puntos aislados o pertenencia invierte la noción: se ignoran puntos que son límites de miembros y se pierden fenómenos de convergencia y la estructura del conjunto derivado.

Límite

Definido en espacios topológicos generales usando vecindarios o redes; en espacios no de primera numerabilidad la intuición basada en sucesiones puede fallar y se requieren redes/filtros. Excluye nociones combinatorias de acumulación en contextos finitos discretos salvo que la topología lo permita.

Tensión semántica

Tensión con el uso de 'limit point' en contextos métricos/secuenciales y con 'cluster point' que algunos autores usan indistintamente; la tensión aparece en espacios no de primera numerabilidad donde las sucesiones no detectan todos los puntos de acumulación.

Síntesis

Un punto de acumulación es donde un conjunto se concentra: cada vecindario contiene otros puntos del conjunto, señalando posibles límites de sucesiones o redes y contribuyendo a las propiedades de cierre y compacidad aunque el punto no pertenezca al conjunto.