Un point x d'un espace topologique est un point d'accumulation d'un ensemble S si tout voisinage de x contient au moins un point de S distinct de x lui-même ; équivalemment x appartient à l'ensemble dérivé S' des points limites.

Principe

Les points d'accumulation traduisent les limites de suites ou de filets provenant de l'ensemble sans exiger l'appartenance ; ils reflètent la présence locale infinie de S près de x et sont centraux pour la fermeture, la convergence et la compacité.

Démonstration

Sur la droite réelle, chaque voisinage de 0 contient infiniment de termes de la suite 1/n, donc 0 est point d'accumulation de {1/n}. En revanche, un point isolé comme 5 dans {5} n'est pas point d'accumulation.

Mauvaise application

Prendre les points d'accumulation pour équivalents à des points de la clôture appartenant nécessairement à S peut induire en erreur : un point d'accumulation n'appartient pas forcément à S (par ex. 0 pour {1/n}) ; confondre avec points isolés brouille la distinction sur la finitude locale.

Conséquence

Une utilisation correcte permet d'identifier où les suites peuvent converger, où les opérations limite produisent de nouveaux points, et aide à classifier les ensembles (un ensemble fermé vaut S ∪ S') ainsi qu'à étudier la compacité (tout sous-ensemble infini d'un espace métrique compact a un point d'accumulation).

Inversion

Ne considérer que les points isolés ou l'appartenance inverse la notion : on ignore les points qui sont limites de membres et on manque ainsi des phénomènes de convergence et de la structure de l'ensemble dérivé.

Limite

Défini dans les espaces topologiques généraux au moyen de voisinages ou de filets ; dans des espaces non séparés par Hausdorff l'intuition séquentielle peut échouer et l'usage de filets/filters est requis. Exclut les notions combinatoires d'accumulation en contextes finis discrets sauf si la topologie les admet.

Tension sémantique

Conflit avec l'usage de 'point limite' en contexte métrique/séquentiel et avec 'point d'amas' que certains auteurs utilisent indifféremment ; la tension apparaît dans les espaces non à première dénombrabilité où les suites ne détectent pas tous les points d'accumulation.

Synthèse

Un point d'accumulation est un lieu de concentration de l'ensemble : tout voisinage contient d'autres points de l'ensemble, signalant des limites potentielles de suites ou de filets et contribuant aux propriétés de clôture et de compacité même si ce point n'appartient pas à l'ensemble.