El comportamiento de una sucesión, serie, método iterativo o algoritmo que no consigue aproximarse a un límite finito o a la solución prevista; la divergencia puede manifestarse como crecimiento no acotado, oscilación persistente sin asentamiento o convergencia a un atractor equivocado.

Principio

La convergencia requiere que los elementos formen una sucesión de Cauchy (o que se cumplan condiciones de contracción/monotonía en esquemas iterativos) en la norma o topología escogida; el fallo de esas condiciones, una elección inadecuada del tamaño de paso, un mapeo de punto fijo incorrecto o una discretización inestable pueden provocar divergencia.

Demostración

Ejemplo de series: la serie armónica sum_{n} 1/n diverge (las sumas parciales crecen sin límite). Ejemplo iterativo: la iteración de punto fijo x_{k+1}=g(x_k) con |g'(x*)|>1 en el punto fijo conduce a la divergencia. Optimización: el descenso por gradiente con paso demasiado grande puede divergir hacia infinito.

Aplicación incorrecta

Etiquetar como divergencia una convergencia muy lenta, o interpretar como divergencia el crecimiento transitorio o el ciclo antes de la convergencia asintótica; no comprobar si la no convergencia observada se debe a error de modelado, discretización o reglas de parada.

Consecuencia

Diagnosticar la causa (falta de contracción, tamaño de paso, mal condicionamiento, error de discretización), ajustar el método (reducir pasos, amortiguar, precondicionar), cambiar de algoritmo (usar solucionadores alternativos o estrategias de globalización), o reformular el problema para restaurar la convergencia.

Inversión

Convergencia: la sucesión o método se aproxima a un límite o solución bien definidos dentro de la tolerancia y topología especificadas, a menudo garantizada por contracción, teoría de operadores monotónicos o coercividad.

Límite

La divergencia es distinta de la convergencia condicional o de la no convergencia absoluta (las series que convergen condicionalmente no son divergentes) y depende de la topología y la norma; el comportamiento bajo discretización o en precisión finita puede diferir del marco teórico de precisión infinita o dimensión infinita.

Tensión semántica

Existe tensión entre la divergencia como no convergencia matemática y los modos de fallo prácticos (inestabilidad numérica, mal condicionamiento, estancamiento algorítmico); diagnosticar cuál fenómeno ocurre es crítico porque los remedios difieren.

Síntesis

La divergencia denota la incapacidad de aproximarse al límite previsto —manifestada como crecimiento no acotado, oscilación sostenida o convergencia a un estado no deseado— causada por violaciones de la contracción, parametrización pobre o inestabilidad; resolver la divergencia requiere diagnosticar su origen y aplicar cambios adecuados en método, parámetros o modelo.