Comportement d'une suite, d'une série, d'une méthode itérative ou d'un algorithme qui n'approche pas d'une limite finie ni de la solution prévue ; la divergence peut se manifester par une croissance non bornée, des oscillations persistantes sans stabilisation ou la convergence vers un attracteur erroné.

Principe

La convergence exige que les éléments forment une suite de Cauchy (ou satisfassent des conditions de contraction/monotonie pour les schémas itératifs) dans la norme ou topologie choisie ; la violation de ces conditions, un mauvais choix de pas, une application point fixe incorrecte ou une discrétisation instable peuvent produire la divergence.

Démonstration

Exemple de série : la série harmonique sum_{n} 1/n diverge (les sommes partielles croissent sans borne). Exemple itératif : itération du point fixe x_{k+1}=g(x_k) avec |g'(x*)|>1 au point fixe conduit à la divergence. Optimisation : la descente de gradient avec pas trop grand peut diverger vers l'infini.

Mauvaise application

Qualifie la convergence très lente de divergence, ou interpréter une croissance transitoire ou un cycle avant la convergence asymptotique comme divergence ; ne pas vérifier si la non-convergence observée provient d'une erreur de modélisation, d'une discrétisation ou d'une règle d'arrêt.

Conséquence

Diagnostiquer la cause (absence de contraction, pas, mauvais conditionnement, erreur de discrétisation), ajuster la méthode (réduire le pas, amortir, préconditionner), changer d'algorithme (utiliser des solveurs alternatifs ou des stratégies de globalisation) ou reformuler le problème pour rétablir la convergence.

Inversion

Convergence : la suite ou la méthode approche une limite ou solution bien définie dans la tolérance et la topologie spécifiées, souvent garantie par contraction, théorie des opérateurs monotones ou coercivité.

Limite

La divergence est distincte de la convergence conditionnelle ou de la non-convergence absolue (les séries qui convergent conditionnellement ne sont pas divergentes) et dépend de la topologie et de la norme ; le comportement sous discrétisation ou en précision finie peut différer du cadre théorique en précision infinie ou dimension infinie.

Tension sémantique

Tension entre la divergence comme non-convergence mathématique et les modes de défaillance pratiques (instabilité numérique, mauvais conditionnement, stagnation algorithmique) ; diagnostiquer le phénomène présent est crucial car les remèdes diffèrent.

Synthèse

La divergence désigne l'échec d'approche de la limite attendue — se manifestant par une croissance non bornée, une oscillation soutenue ou une convergence vers un état non souhaité — causée par des violations de contraction, une mauvaise paramétrisation ou instabilité ; résoudre la divergence requiert d'en diagnostiquer la source et d'appliquer des modifications adaptées de méthode, de paramètres ou de modèle.