Un nombre réel quantifiant le taux exponentiel moyen auquel des trajectoires voisines d'un système dynamique se séparent (positif) ou convergent (négatif) selon une direction donnée.

Principe

Linéariser le flot le long d'une trajectoire et mesurer les taux de croissance à long terme des perturbations via la croissance logarithmique des vecteurs tangents divisée par le temps.

Démonstration

Pour l'application logistique à des paramètres montrant du chaos, l'exposant maximal calculé numériquement est positif, indiquant une sensibilité aux conditions initiales sur de longues itérations.

Mauvaise application

Estimer un exposant global à partir de données de courte durée sans tenir compte de la non-stationnarité ou ne pas distinguer l'exposant maximal des taux d'expansion transitoires.

Conséquence

Un exposant maximal positif implique une sensibilité exponentielle et une imprédictibilité typique pour des conditions initiales voisines ; des exposants négatifs indiquent une attraction locale asymptotique.

Inversion

Si tous les exposants de Lyapunov sont strictement négatifs, la trajectoire est uniformément attractive ; un changement de signe d'un exposant dominant peut marquer une transition vers l'instabilité ou le chaos.

Limite

Défini pour les trajectoires des systèmes dynamiques continus ou discrets où la linéarisation et les limites de type Oseledec existent ; peut être indéfini ou dépendre de la trajectoire pour des systèmes non lisses ou non autonomes sans hypothèses ergodiques.

Tension sémantique

Souvent comparé à des mesures globales de complexité : un exposant quantifie des taux exponentiels locaux le long de directions, pas la croissance totale d'information du système.

Synthèse

Une métrique des croissances ou décroissances exponentielles à long terme de perturbations infinitésimales le long d'une trajectoire qui diagnostique la stabilité et les chemins vers le comportement chaotique.