Le rapport des vraisemblances des données observées sous deux modèles ou hypothèses statistiques concurrents ; utilisé comme statistique de test et pour la comparaison de modèles.

Principe

Cadre de Neyman–Pearson : pour des hypothèses simples le rapport de vraisemblance fournit le test le plus puissant au niveau de signification donné ; les propriétés de vraisemblance monotone soutiennent l'ordre des preuves.

Démonstration

Étant donné des observations issues de N(μ,σ^2) avec σ connu, pour tester H0 : μ=μ0 contre H1 : μ=μ1 on utilise LR = L(données|μ1)/L(données|μ0) ; le logarithme du rapport de vraisemblance est proportionnel à la différence des moyennes d'échantillon et sert de critère de rejet.

Mauvaise application

Interpréter le rapport de vraisemblance comme la probabilité a posteriori d'une hypothèse sans inclure de prior (confondre LR avec facteur de Bayes ou odds a posteriori), ou l'appliquer lorsque les modèles sont mal spécifiés ou que les vraisemblances sont indéfinies sur des parties de l'espace échantillonnal.

Conséquence

Fournit une statistique de test interprétable avec des lois asymptotiques connues dans de nombreux cas (p. ex. théorème de Wilks), sert de base pour des régions de confiance basées sur la vraisemblance et des procédures de sélection de modèles.

Inversion

Les facteurs de Bayes utilisent des vraisemblances marginales intégrées sur les priors des paramètres plutôt que des vraisemblances ponctuelles ; inverser les rôles des hypothèses échange numérateur et dénominateur et inverse l'interprétation de la preuve.

Limite

Nécessite des fonctions de vraisemblance bien spécifiées sur le même espace d'échantillonnage et une gestion des paramètres parasites et de l'identifiabilité ; indéfini lorsque le dénominateur s'annule ou lorsque les modèles postulent des mécanismes de génération de données incompatibles.

Tension sémantique

Souvent confondu avec les p‑valeurs, odds a posteriori ou facteurs de Bayes ; contrairement aux p‑valeurs, le LR compare directement des modèles par leurs vraisemblances, et contrairement aux facteurs de Bayes il omet la pondération par les priors sauf extension.

Synthèse

Le rapport de vraisemblance est la mesure centrale fondée sur la vraisemblance comparant la capacité de deux hypothèses à expliquer des données observées ; correctement calibré, il fournit des tests puissants, guide le choix de modèle et quantifie le soutien relatif.