Une trajectoire ou un signal composé d'une somme finie de fréquences incommensurables (dont les rapports ne sont pas entiers), produisant un mouvement qui ne se répète jamais exactement mais qui remplit densément un sous-ensemble toroïdal de l'espace des phases.

Principe

La superposition de modes oscillatoires indépendants avec un vecteur de fréquences ω dont les composantes n'ont pas de relations rationnelles produit des trajectoires denses sur un tore de dimension égale au nombre de fréquences indépendantes.

Démonstration

Le mouvement sur le cercle avec deux nombres de rotation incommensurables (θ1(t)=ω1 t, θ2(t)=ω2 t avec ω1/ω2 irrationnel) trace une courbe dense sur le tore 2D et ne revient jamais à une phase initiale.

Mauvaise application

Qualifier de quasi-périodiques des dynamiques affectées par du bruit basse fréquence ou des dérives lentes ignore l'exigence de fréquences de base bien définies et peut masquer un comportement transitoire ou stochastique.

Conséquence

Reconnaître la quasi-périodicité permet d'utiliser des coordonnées toroïdales, d'appliquer des résultats de persistance sous petites perturbations (phénomènes de type KAM) et d'identifier des signatures spectrales constituées de raies discrètes aux combinaisons linéaires des fréquences de base.

Inversion

Le mouvement périodique est l'inverse : les fréquences sont commensurables et la trajectoire est fermée ; le mouvement chaotique est un autre contraste, montrant un spectre continu et une sensibilité plutôt que des raies discrètes.

Limite

Concerne des superpositions déterministes à fréquence finie ; exclut les cas à spectre dense comme le chaos à spectre continu ou les processus bruités où les composantes fréquentielles ne sont pas nettes.

Tension sémantique

Tension avec les signaux 'presque périodiques' : les fonctions presque périodiques généralisent les quasi‑périodiques et permettent un ensemble infini de fréquences, il est donc essentiel de distinguer une structure finie à fréquences incommensurables.

Synthèse

Le mouvement quasi-périodique est une dynamique déterministe multi‑fréquence dont les fréquences de base incommensurables produisent des trajectoires non répétitives qui remplissent densément un tore et donnent des raies spectrales discrètes.