La plus petite échelle de temps après laquelle la loi d'une chaîne de Markov est proche de sa distribution stationnaire à l'intérieur d'une tolérance donnée, généralement mesurée en distance variationnelle totale.

Principe

La vitesse de convergence est gouvernée par les propriétés spectrales (écart entre valeurs propres) et les quantités isopérimétriques (conductance) ; des écarts plus grands et une conductance élevée accélèrent le mélange.

Démonstration

Pour une marche aléatoire sur un graphe expander à n sommets, le temps de mélange croît logarithmiquement en n car l'écart spectral du graphe est borné en dessous, entraînant une convergence rapide vers la stationnarité.

Mauvaise application

Supposer qu'une courte exécution empirique implique mélange sans quantifier la distance à la stationnarité, ou confondre temps de mélange et temps nécessaire pour visiter tous les états (temps de recouvrement).

Conséquence

Fournit des recommandations de durée et de période d'amorçage pour les méthodes MCMC et la modélisation dynamique : garantit un échantillonnage approximativement à l'équilibre après le temps indiqué.

Inversion

Une chaîne avec un temps de mélange long présente une métastabilité ou des goulets d'étranglement : les distributions initiales persistent et l'échantillonnage reste biaisé ; l'inverse est un comportement non ergodique plutôt qu'une équilibration rapide.

Limite

Défini pour les chaînes de Markov ergodiques (irrécductibles, apériodiques) et dépend de la distance et de la tolérance choisies ; différentes normes (variation totale, L2) donnent des temps de mélange quantitatifs différents.

Tension sémantique

Par rapport au temps de relaxation (inverse de l'écart spectral) : les deux quantifient la convergence mais utilisent des normes et constantes différentes ; le temps de relaxation est algébrique (L2) tandis que le temps de mélange est probabiliste et souvent plus contraignant.

Synthèse

Un temps-seuil quantitatif, déduit des propriétés spectrales et géométriques de la chaîne, après lequel la loi de la chaîne est uniformément proche de sa distribution stationnaire à l'intérieur d'une erreur prescrite.