Fonction qui satisfait une équation aux dérivées partielles au sens intégral ou distributionnel contre une classe prescrite de fonctions test, permettant une régularité plus faible que les solutions classiques (dérivables point par point) ; formulée habituellement dans des espaces de Sobolev ou de distributions.

Principe

Multiplier l'EDP par des fonctions test lisses à support compact et effectuer des intégrations par parties formelles afin de transférer les dérivées sur les fonctions test ; la formulation faible relâche les exigences de dérivation et encode les conditions aux limites par le choix de l'espace de test ou des termes traces.

Démonstration

Pour le problème de Poisson −Δu = f sur un domaine avec conditions de Dirichlet et f∈L^2, on cherche u∈H^1_0 vérifiant ∫∇u·∇v = ∫ f v pour tout v∈H^1_0 ; cette formulation variationnelle faible assure existence et unicité via le théorème de Lax–Milgram.

Mauvaise application

Traiter une solution faible comme si elle était classique pontuelle (prétendre des égalités point par point alors que les dérivées ponctuelles n'existent pas), ou négliger le rôle des espaces traces pour interpréter les conditions aux limites.

Conséquence

Les formulations faibles élargissent la théorie d'existence (admettent des solutions dans des espaces de Sobolev), permettent les méthodes variationnelles et les discrétisations de Galerkin (méthodes d'éléments finis), et autorisent des arguments de stabilité et de compacité qui échouent en cadres classiques.

Inversion

Une solution classique (forte) satisfait l'EDP ponctuellement avec les dérivées requises ; lorsque la régularité le permet, une solution faible suffisamment lisse est aussi une solution classique, mais l'inverse peut échouer en basse régularité.

Limite

S'applique quand l'EDP et les conditions aux limites s'écrivent sous forme intégrée et quand des espaces fonctionnels appropriés (p. ex. espaces de Sobolev) existent ; non applicable directement aux EDP dont les coefficients ou second membres sont trop singuliers sans renormalisation ou formulations à valeurs de mesure.

Tension sémantique

Une tension existe entre les solutions faibles distributionnelles/variationnelles et d'autres généralisations (solutions très faibles, solutions d'entropie pour lois de conservation) ; le choix adéquat dépend du type d'équation et des propriétés recherchées (unicité, conservation).

Synthèse

Une solution faible est un objet de régularité moindre qui satisfait une EDP au sens intégral/aux fonctions test, étendant la résolubilité et fournissant le cadre naturel pour méthodes variationnelles et approximations numériques lorsque les dérivées classiques font défaut.