Une technique d'encadrement pour trouver des racines qui consiste à diviser répétitivement en deux un intervalle contenant un changement de signe d'une fonction continue, convergeant ainsi vers une racine garantie par le théorème des valeurs intermédiaires.

Principe

Si f est continue sur [a,b] et que f(a) et f(b) ont des signes opposés, alors il existe au moins une racine dans (a,b) ; bisecter l'intervalle, choisir le sous-intervalle qui conserve le changement de signe et itérer pour réduire géométriquement la largeur de l'intervalle.

Démonstration

Pour f continue avec f(0)<0 et f(1)>0, calculer le milieu m=0.5, évaluer f(m) ; choisir [0,m] ou [m,1] selon le changement de signe et répéter ; la longueur de l'intervalle est divisée par deux à chaque étape, garantissant une convergence linéaire (géométrique) vers une racine.

Mauvaise application

Appliquer la bissection lorsque la fonction est discontinue sur l'intervalle, lorsqu'il n'y a pas de changement de signe, ou tenter de l'utiliser pour des racines de multiplicité sans changement de signe échouera ou sera inapplicable.

Conséquence

Un algorithme robuste et simple avec convergence globale garantie si l'encadrement initial contient un changement de signe ; il converge linéairement et sert souvent à fournir des intervalles de départ pour des méthodes locales plus rapides.

Inversion

A l'inverse, sacrifier la garantie globale de la bissection au profit de méthodes locales plus rapides (Newton, sécante) qui peuvent converger supra-linéairement mais diverger sans une bonne initialisation.

Limite

Applicable aux fonctions scalaires continues sur un intervalle avec changement de signe connu ; n'exploite pas l'information dérivative, se limite aux problèmes réels unidimensionnels et est inefficace par rapport aux méthodes supra-linéaires près de la racine.

Tension sémantique

Souvent comparée à la regula falsi (fausse position) : les deux sont des méthodes d'encadrement, mais regula falsi utilise une interpolation de sécante pour choisir les sous-intervalles et peut être plus rapide tout en risquant de s'enliser ; la bissection est plus lente mais plus simple et monotone.

Synthèse

La méthode de la bissection partage un intervalle capable de contenir une racine et le divise successivement par deux, fournissant une voie simple et garantie vers une racine réelle sous continuité ; elle échange rapidité contre fiabilité et sert de méthode de secours ou d'initialisation standard.