Ein Punkt x in einer Menge S, so dass eine Abbildung f: S → S die Gleichung f(x) = x erfüllt; ein durch die Abbildung unveränderliches Element.

Prinzip

Invarianz unter einer Selbstabbildung: Lösungen vieler funktionaler und dynamischer Probleme entsprechen Punkten, die von einem Operator oder einer Abbildung festgehalten werden.

Demonstration

Eine Kontraktion auf einem vollständigen metrischen Raum besitzt einen eindeutigen Punkt x mit f(x)=x, und die Iteration von f konvergiert gegen diesen Punkt.

Fehlanwendung

Vorauszusetzen, dass für jede stetige Selbstabbildung in beliebigen Räumen ein Fixpunkt existiert, ohne Vollständigkeit, Kompaktheit oder andere Existenzbedingungen zu prüfen.

Konsequenz

Unter erfüllten Voraussetzungen folgt die Existenz (und manchmal Eindeutigkeit sowie konstruktive Konvergenz) einer Lösung der Gleichung x = f(x).

Umkehrung

Ein periodischer Punkt mit Periode n (f^n(x)=x, aber f^k(x)≠x für 0

Abgrenzung

Gilt für Abbildungen eines Raums in sich selbst; umfasst nicht Punkte, die nur bis auf eine Äquivalenzrelation invariant sind oder statistische Invarianz (z. B. invariante Maße).

Semantische Spannung

Verwechslung mit Gleichgewicht: Ein Fixpunkt ist punktweise Invarianz f(x)=x, während Gleichgewicht in Anwendungen eine stationäre Verteilung oder Ensemble-Stetigkeit bedeuten kann.

Synthese

Ein Fixpunkt ist ein invariant bleibendes Element einer Selbstabbildung, dessen Existenz und Eigenschaften durch strukturelle Voraussetzungen (Kontraktion, Kompaktheit, Stetigkeit) gesteuert werden und das oft Lösungen der Gleichung x = f(x) liefert.