Un punto x en un conjunto S tal que una aplicación f: S → S satisface f(x) = x; un elemento que no cambia bajo la acción de la aplicación.

Principio

Invarianza bajo una autoaplicación: las soluciones de muchos problemas funcionales y dinámicos corresponden a puntos que quedan fijos por un operador o aplicación.

Demostración

Una aplicación contractiva en un espacio métrico completo tiene un único punto x con f(x)=x, y la iteración de f converge a ese punto.

Aplicación incorrecta

Suponer que existe un punto fijo para toda autoaplicación continua de cualquier espacio sin verificar completitud, compacidad u otra condición de existencia.

Consecuencia

Cuando se cumplen las hipótesis requeridas, se obtiene existencia (y a veces unicidad y convergencia constructiva) de una solución a ecuaciones expresadas como x = f(x).

Inversión

Un punto periódico de periodo n (f^n(x)=x pero f^k(x)≠x para 0

Límite

Se aplica a aplicaciones de un espacio en sí mismo; no incluye puntos invariantes sólo hasta una relación de equivalencia ni invariancia estadística (por ejemplo, medidas invariantes).

Tensión semántica

Confusión con equilibrio: un punto fijo es una invariancia puntual de una aplicación, mientras que equilibrio puede referirse a una distribución estacionaria o a la estabilidad de un conjunto en vez de la igualdad literal f(x)=x.

Síntesis

Un punto fijo es un elemento literalmente invariante de una autoaplicación, cuya existencia y propiedades están gobernadas por hipótesis estructurales (contracción, compacidad, continuidad) y que a menudo proporciona soluciones a x = f(x).