Un point x d'un ensemble S tel qu'une application f : S → S vérifie f(x) = x ; un élément qui reste inchangé par l'action de l'application.

Principe

Invariance par une auto-application : les solutions de nombreux problèmes fonctionnels et dynamiques correspondent à des points laissés fixes par un opérateur ou une application.

Démonstration

Une application contractante sur un espace métrique complet admet un point unique x tel que f(x)=x et l'itération de f converge vers ce point.

Mauvaise application

Supposer qu'un point fixe existe pour toute application continue d'un espace quelconque sans vérifier la complétude, la compacité ou une autre condition d'existence.

Conséquence

Lorsque les hypothèses requises sont satisfaites, on obtient l'existence (et parfois l'unicité et la convergence constructive) d'une solution des équations exprimées x = f(x).

Inversion

Un point périodique de période n (f^n(x)=x mais f^k(x)≠x pour 0

Limite

S'applique aux applications d'un espace dans lui-même ; n'inclut pas les points invariants seulement à un rapport d'équivalence ou l'invariance statistique (par exemple, des mesures invariantes).

Tension sémantique

Confusion avec l'équilibre : un point fixe est une invariance ponctuelle d'une application (f(x)=x), alors que l'équilibre peut désigner une distribution stationnaire ou une constance d'ensemble plutôt qu'une égalité littérale.

Synthèse

Un point fixe est un élément invariant d'une auto-application dont l'existence et les propriétés dépendent d'hypothèses structurelles (contraction, compacité, continuité) et qui fournit souvent des solutions aux équations x = f(x).