Für einen linearen Operator A zwischen Innenprodukt-Räumen ist sein Adjungierter A* der Operator, der ⟨A x, y⟩ = ⟨x, A* y⟩ für alle Vektoren x und y in den Domänen erfüllt, in denen beide Seiten definiert sind.

Prinzip

Adjunktion ist die durch das Innenprodukt induzierte Dualität: Sie verlagert die Wirkung über das Innenprodukt und identifiziert einen kanonischen Partneroperator, der der formalen Transponierten bzgl. dieses Produkts entspricht.

Demonstration

Im endlichdimensionalen euklidischen Raum mit dem Standardinnenprodukt ist der Adjungierte einer Matrix ihre konjugiert-transponierte Matrix (bei reellen Einträgen die Transponierte), welche die definierende Innenproduktrelation erfüllt.

Fehlanwendung

Zu unterstellen, jeder lineare Abbildung zwischen normierten Räumen habe einen überall definierten beschränkten Adjungierten; Adjungierte setzen eine Innenproduktstruktur voraus und bei unbeschränkten Operatoren müssen Definitionsbereiche behandelt werden.

Konsequenz

Adjungierte ermöglichen Definitionen von Selbstadjungiertheit, Normalität und Orthogonalitätsrelationen; sie sind zentral zur Charakterisierung symmetrischen Operatorverhaltens und zur Formulierung von Projektionen und Kleinste-Quadrate-Konstruktionen.

Umkehrung

Der Inverse eines Operators kehrt dessen Wirkung um (A^{-1}A = I), während der Adjungierte sich auf Dualität statt Inversion bezieht und auch dann existieren kann, wenn kein Inverser existiert.

Abgrenzung

Gilt in Innenprodukt-(Hilbert-)Räumen oder wo ein Innenprodukt angegeben ist; in allgemeinen Banachräumen ohne Innenprodukt gibt es keinen kanonischen Adjungierten, und bei unbeschränkten Operatoren sind dichte Definitionsbereiche nötig.

Semantische Spannung

Wird oft mit der Transponierten oder dem Inversen verwechselt: Transponierte (oder konjugiert-Transponierte) ist die Matrixdarstellung des Adjungierten in einer Basis, der Adjungierte ist das koordinatenfreie Innenproduktdual; Inverser hebt Wirkung auf, Adjungierter verlagert sie innerhalb des Produkts.

Synthese

Der adjungierte Operator ist das Innenproduktdual eines linearen Operators: ein kanonischer Partner, der definiert wird, indem der Operator von einer Stelle des Innenprodukts in die andere verschoben wird; Existenz und Eigenschaften hängen vom Innenprodukt und Domänenfragen ab.