Dado un operador lineal A entre espacios con producto interno, su adjunto A* es el operador que satisface ⟨A x, y⟩ = ⟨x, A* y⟩ para todos los vectores x e y en los dominios donde ambos lados están definidos.

Principio

La adjunción es la dualidad inducida por el producto interno: traslada la acción a través del producto interno, identificando un operador compañero canónico que representa la transpuesta formal con respecto a dicho producto.

Demostración

En espacios euclidianos finito-dimensionales con el producto interno estándar, el adjunto de una matriz es su traspuesta conjugada (la traspuesta cuando las entradas son reales), que satisface la relación definitoria del producto interno.

Aplicación incorrecta

Suponer que todo mapa lineal entre espacios normados tiene un adjunto acotado definido en todas partes; los adjuntos requieren una estructura de producto interno y para operadores no acotados deben tratarse cuestiones de dominio.

Consecuencia

Los adjuntos permiten definir autoadjunción, normalidad y relaciones de ortogonalidad; son centrales para caracterizar comportamiento simétrico de operadores y para formular proyecciones y construcciones de mínimos cuadrados.

Inversión

El operador inverso, cuando existe, revierte el efecto de A (A^{-1}A = I), mientras que el adjunto se relaciona con dualidad más que con inversión y puede existir aun cuando no exista inverso.

Límite

Se aplica en marcos con producto interno (Hilbert) o donde se especifique un producto interno; en espacios de Banach sin producto interno no hay un adjunto canónico, y para operadores no acotados hay que definir dominios densos.

Tensión semántica

A menudo se confunde con la traspuesta o la inversa: la traspuesta (o traspuesta conjugada) es la representación matricial del adjunto en una base, mientras que el adjunto es el dual independiente de coordenadas; la inversa deshace la acción, el adjunto la traslada a través del producto.

Síntesis

El operador adjunto es el dual por producto interno de un operador lineal: un compañero canónico definido al mover el operador de una ranura del producto interno a la otra, cuya existencia y propiedades dependen del producto interno y de las consideraciones de dominio.