Pour un opérateur linéaire A entre espaces à produit scalaire, son adjoint A* est l'opérateur qui vérifie ⟨A x, y⟩ = ⟨x, A* y⟩ pour tous vecteurs x et y dans les domaines où les deux côtés sont définis.

Principe

L'adjonction est la dualité induite par un produit scalaire : elle transfère l'action à travers le produit scalaire en identifiant un opérateur partenaire canonique représentant la transposée formelle par rapport à ce produit.

Démonstration

Dans un espace euclidien de dimension finie avec le produit scalaire standard, l'adjoint d'une matrice est sa transposée conjuguée (la transposée si les coefficients sont réels), qui satisfait la relation définitoire du produit scalaire.

Mauvaise application

Supposer que toute application linéaire entre espaces normés possède un adjoint borné défini partout ; les adjoints nécessitent une structure de produit scalaire et pour les opérateurs non bornés il faut traiter les domaines.

Conséquence

Les adjoints permettent de définir l'auto-adjonction, la normalité et les relations d'orthogonalité ; ils sont centraux pour caractériser le comportement symétrique des opérateurs et pour formuler des projections et des constructions de moindres carrés.

Inversion

L'opérateur inverse, lorsqu'il existe, inverse l'effet de A (A^{-1}A = I), tandis que l'adjoint se rapporte à la dualité plutôt qu'à l'inversion et peut exister même en l'absence d'inverse.

Limite

S'applique dans des cadres à produit scalaire (Hilbert) ou lorsqu'un produit scalaire est précisé ; dans des espaces de Banach sans produit scalaire il n'y a pas d'adjoint canonique, et pour les opérateurs non bornés il faut spécifier des domaines denses.

Tension sémantique

Souvent confondu avec la transposée ou l'inverse : la transposée (ou transposée conjuguée) est la représentation matricielle de l'adjoint dans une base, tandis que l'adjoint est le dual invariant par produit scalaire ; l'inverse annule l'action, l'adjoint la transfère dans le produit.

Synthèse

L'opérateur adjoint est le dual par produit scalaire d'un opérateur linéaire : un partenaire canonique défini en déplaçant l'opérateur d'une place à l'autre du produit scalaire, dont l'existence et les propriétés dépendent du produit scalaire et des questions de domaine.