Eine messbare Abbildung T: X → X eines Maßraums (X, Σ, μ) mit μ(T^{-1}(A)) = μ(A) für jede messbare Menge A; äquivalent dazu ist die Bildmaß T_*μ gleich μ.

Prinzip

Die Wirkung von T bewahrt das Maß: Mengen und ihre Urbilder haben dasselbe Maß.

Demonstration

Die Drehung um einen Winkel α auf dem Einheitskreis mit dem Lebesgue-Maß: für jeden Bogen A gilt Leb(T^{-1}(A)) = Leb(A), somit ist das Lebesgue-Maß unter der Drehung invariant.

Fehlanwendung

Aus der Existenz eines Fixpunktes oder punktweisen Erhalts eines Teilmengen auf Maßenerhalt zu schließen; oder die Invarianzgleichung auf nicht messbare Mengen anzuwenden.

Konsequenz

Ermöglicht die Konstruktion invarianten Integrale, die Anwendung von Rekurrenzsätzen und das Studium statistischer Eigenschaften unter Iteration von T.

Umkehrung

Eine maßvergrößernde oder maßverkleinernde Abbildung, für die μ(T^{-1}(A)) systematisch von μ(A) abweicht, z. B. expandierende Abbildungen.

Abgrenzung

Nur definiert für messbare Räume mit einem gegebenen Maß; impliziert nicht Ergodizität, Invertierbarkeit oder Erhalt einzelner Punkte.

Semantische Spannung

Wird oft kontrastiert mit Quasiinvarianz (Maße sind bis auf eine Dichte äquivalent) oder mit absoluter Stetigkeit der Bildmaße.

Synthese

Eine messbare Transformation, die ein gegebenes Maß auf allen messbaren Mengen unverändert lässt und so den invariantiven Rahmen für maßtheoretische Dynamik liefert.