Une application mesurable T : X → X d'un espace mesurable (X, Σ, μ) vérifiant μ(T^{-1}(A)) = μ(A) pour tout ensemble mesurable A ; équivalemment, l'image réciproque préserve la mesure et T_*μ = μ.

Principe

L'action de T laisse la mesure inchangée : un ensemble et son antécédent ont la même mesure.

Démonstration

La rotation d'angle α sur le cercle unité avec la mesure de Lebesgue : pour tout arc A, Leb(T^{-1}(A)) = Leb(A), donc la mesure de Lebesgue est invariante par la rotation.

Mauvaise application

Prétendre la préservation de la mesure à partir de l'existence d'un point fixe ou d'une invariance point par point d'un sous-ensemble ; appliquer l'identité d'invariance à des ensembles non mésurables.

Conséquence

Permet la construction d'intégrales invariantes, l'application de théorèmes de récurrence et l'étude des propriétés statistiques sous l'itération de T.

Inversion

Une application dilatant ou contractant la mesure pour laquelle μ(T^{-1}(A)) diffère systématiquement de μ(A), par exemple des transformations qui étendent le volume.

Limite

Défini seulement sur des espaces mesurables munis d'une mesure donnée ; n'implique pas l'ergodicité, l'inversibilité ni la préservation des points individuels.

Tension sémantique

Souvent opposé à la quasi-invariance (où les mesures sont équivalentes à un facteur de densité) ou à la notion de continuité absolue de l'image par T.

Synthèse

Une transformation mesurable qui laisse une mesure donnée inchangée sur tous les ensembles mesurables, fournissant le cadre invariant pour la dynamique mesurée.