Una aplicación mesurable T: X → X en un espacio medible (X, Σ, μ) que satisface μ(T^{-1}(A)) = μ(A) para todo conjunto medible A; equivalentemente, la medida empujada T_*μ es igual a μ.

Principio

La acción de T deja la medida invariante: un conjunto y su preimagen tienen la misma medida.

Demostración

La rotación por un ángulo α en el círculo unidad con la medida de Lebesgue: para cualquier arco A, Leb(T^{-1}(A)) = Leb(A), de modo que la medida de Lebesgue es invariante bajo la rotación.

Aplicación incorrecta

Afirmar preservación de la medida por la existencia de un punto fijo o por la invariancia puntual de un subconjunto; o aplicar la igualdad de invariancia a conjuntos no mesurables.

Consecuencia

Permite construir integrales invariantes, aplicar teoremas de recurrencia y estudiar propiedades estadísticas bajo la iteración de T.

Inversión

Una transformación que dilata o contrae la medida y para la cual μ(T^{-1}(A)) difiere sistemáticamente de μ(A), por ejemplo mapas expansivos.

Límite

Solo definida para espacios mesurables con una medida dada; no implica ergodicidad, invertibilidad ni preservación de puntos individuales.

Tensión semántica

Se contrasta con frecuencia con la cuasiinvariancia (las medidas son equivalentes hasta una densidad) o con la continuidad absoluta de la medida imagen.

Síntesis

Una transformación mesurable que deja una medida dada inalterada en todos los conjuntos mesurables, proporcionando el marco invariante para la dinámica medida.