Die Darstellung einer invarianten Maß μ auf einem maß-erhaltenden System als Integral (Mischung) ergodischer invarianten Maße: μ = ∫ μ_x dν(x), wobei fast jedes μ_x ergodisch ist und ν ein Maß auf dem Raum der ergodischen Komponenten ist.

Prinzip

Invariante Maße sind konvexe Kombinationen externer (ergodischer) invarianten Maße; ergodische Maße fungieren als atomare Bausteine statistischen Verhaltens.

Demonstration

Für ein verschiebungsinvariantes Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem symbolischen Raum zerfällt es in ergodische Maße, die auf minimalen Untersystemen gestützt sind; zeitliche Mittelwerte für eine Anfangsverteilung stimmen mit den Mitteln über die entsprechende ergodische Komponente überein.

Fehlanwendung

Zu behaupten, die Zerlegung sei immer endlich oder atomar, oder sie anzuwenden, wenn kein invariantes Maß angegeben ist; die Zerlegung von Maßen mit einer Zerlegung des zugrundeliegenden Raums in disjunkte invariante Mengen in jedem Fall zu verwechseln.

Konsequenz

Zeitliche Mittelwerte für fast jede Anfangsbedingung lassen sich als Integrale gegen eine ergodische Komponente beschreiben, wodurch die Untersuchung des Langzeitverhaltens auf ergodische Maße reduziert wird.

Umkehrung

Ein einzelnes ergodisches Maß (reine Komponente) statt einer Mischung: Es gibt keine nichttriviale Zerlegung, wenn μ ergodisch ist.

Abgrenzung

Gilt nur für invariante Maße auf messbaren dynamischen Systemen; Eindeutigkeit oder explizite Form der Zerlegung kann ohne Standard-Borel-Struktur oder Separabilität fehlen.

Semantische Spannung

Wird oft kontrastiert mit Spektralzerlegungen von Operatoren, die Funktionen statt Maße in orthogonale Modi zerlegen.

Synthese

Ein kanonischer Ausdruck eines invarianten Maßes als Integral über ergodische, unzerlegbare invariante Maße, der irreduzible statistische Verhaltensweisen isoliert.