La representación de una medida invariante μ en un sistema que preserva la medida como una integral (mezcla) de medidas invariantes ergódicas: μ = ∫ μ_x dν(x), donde casi todas las μ_x son ergódicas y ν es una medida en el espacio de componentes ergódicas.

Principio

Las medidas invariantes son combinaciones convexas de medidas invariantes extremales (ergódicas); las medidas ergódicas son los bloques elementales del comportamiento estadístico.

Demostración

Para una medida de probabilidad invariante por el desplazamiento en un espacio simbólico, la medida se descompone según medidas ergódicas apoyadas en subsistemas mínimos; los promedios temporales para una distribución inicial coinciden con los promedios sobre la componente ergódica correspondiente.

Aplicación incorrecta

Suponer que la descomposición es siempre finita o atómica, o aplicarla cuando no se ha especificado una medida invariante; confundir la descomposición de medidas con la descomposición del espacio subyacente en conjuntos invariantes disjuntos en todos los casos.

Consecuencia

Los promedios temporales para casi toda condición inicial pueden describirse como integrales respecto a una componente ergódica, reduciendo el estudio del comportamiento a largo plazo a las medidas ergódicas.

Inversión

Una única medida ergódica (componente pura) en lugar de una mezcla: no existe descomposición no trivial cuando μ es ergódica.

Límite

Se aplica solo a medidas invariantes en sistemas dinámicos mensurables; la unicidad o forma explícita de la descomposición puede fallar sin estructura boreliana estándar o separabilidad.

Tensión semántica

A menudo se contrasta con descomposiciones espectrales de operadores, que descomponen funciones en lugar de medidas en modos ortogonales.

Síntesis

Una expresión canónica de una medida invariante como integral sobre medidas invariantes ergódicas e indecomponibles que aísla comportamientos estadísticos irreducibles.