La représentation d'une mesure invariante μ sur un système mesurable préservant la mesure comme intégrale (mélange) de mesures invariantes ergodiques : μ = ∫ μ_x dν(x), où presque chaque μ_x est ergodique et ν est une mesure sur l'espace des composantes ergodiques.

Principe

Les mesures invariantes sont des combinaisons convexes de mesures invariantes extrémales (ergodiques) ; les mesures ergodiques constituent les briques élémentaires du comportement statistique.

Démonstration

Pour une mesure de probabilité invariante par le décalage sur un espace symbolique, la décomposition se fait selon des mesures ergodiques supportées sur des sous-systèmes minimaux ; les moyennes temporelles pour une distribution initiale coïncident avec les moyennes prises sur la composante ergodique correspondante.

Mauvaise application

Supposer que la décomposition est toujours finie ou atomique, ou l'utiliser sans mesure invariante spécifiée ; confondre la décomposition des mesures avec une décomposition de l'espace sous-jacent en ensembles invariants disjoints dans tous les cas.

Conséquence

Les moyennes temporelles pour presque toute condition initiale peuvent être décrites comme des intégrales contre une composante ergodique, ramenant l'étude du comportement à long terme aux mesures ergodiques.

Inversion

Une mesure ergodique unique (composante pure) au lieu d'un mélange : aucune décomposition non triviale n'existe si μ est ergodique.

Limite

S'applique uniquement aux mesures invariantes sur des systèmes dynamiques mesurables ; l'unicité ou la forme explicite de la décomposition peut échouer sans structure borélienne standard ou séparabilité.

Tension sémantique

Souvent opposée aux décompositions spectrales d'opérateurs (théorie spectrale linéaire) qui décomposent des fonctions plutôt que des mesures en modes orthogonaux.

Synthèse

Une expression canonique d'une mesure invariante comme intégrale de mesures invariantes ergodiques et indécomposables qui isole les comportements statistiques irréductibles.