Eine Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen (μ_n) auf einem metrischen Raum konvergiert schwach gegen μ, wenn ∫ f dμ_n → ∫ f dμ für jede beschränkte, stetige Funktion f; äquivalent konvergieren Verteilungsfunktionen an den Stetigkeitsstellen der Grenze.

Prinzip

Konvergenz wird durch beschränkte stetige Observablen geprüft statt durch punktweise oder totalvariationsnormen und erfasst die Verteilungskonvergenz zufälliger Elemente.

Demonstration

Empirische Maße aus i.i.d. Stichproben konvergieren fast sicher schwach gegen die zugrundeliegende Verteilung (Glivenko–Cantelli-Resultate); z. B. konvergieren normierte Summen unter geeigneten Bedingungen in Verteilung zu einer stabilen Grenzverteilung.

Fehlanwendung

Schwache Konvergenz heranzuziehen, um die Konvergenz von Erwartungen unbeschränkter Funktionen zu rechtfertigen, oder daraus Konvergenz in stärkeren Metriken wie Totalvariation ohne zusätzliche Bedingungen abzuleiten.

Konsequenz

Garantiert die Konvergenz von Integralen beschränkter stetiger Testfunktionen und von Verteilungsfunktionen an Stetigkeitsstellen; unter Tightness besitzen Folgen Teilfolgen mit schwachen Grenzwerten.

Umkehrung

Konvergenz in Totalvariation oder uniforme Konvergenz von Dichten, die stärkere Kontrolle und Konvergenz von Integralen unbeschränkter Funktionen implizieren, aber nicht aus schwacher Konvergenz folgen.

Abgrenzung

Definiert für Maße auf metrischen Räumen; impliziert nicht die Konvergenz von Momenten, sofern keine Momentbedingungen vorliegen, und ist schwächer als Konvergenz in stärkeren Normen.

Semantische Spannung

Wird oft gegenüber Konvergenz in Wahrscheinlichkeit oder fast sicherer Konvergenz von Zufallsvariablen gestellt; schwache Konvergenz betrifft die Gesetze und nicht das Pfadverhalten.

Synthese

Ein Konvergenzmodus für Maße, der Konvergenz der Verteilungen mittels beschränkter, stetiger Tests erfasst und zentral für Grenzwertsätze und probabilistische Approximationen ist.