Una sucesión de medidas de probabilidad (μ_n) en un espacio métrico converge débilmente a μ si ∫ f dμ_n → ∫ f dμ para toda función continua acotada f; equivalentemente, las funciones de distribución convergen en los puntos de continuidad del límite.

Principio

La convergencia se prueba mediante observables continuas y acotadas en lugar de normas puntuales o de variación total, capturando la convergencia en ley de elementos aleatorios.

Demostración

Las medidas empíricas construidas a partir de muestras i.i.d. convergen débilmente a la distribución subyacente casi seguramente por resultados tipo Glivenko–Cantelli; por ejemplo, sumas normalizadas convergen en ley a una ley límite estable bajo condiciones adecuadas.

Aplicación incorrecta

Usar la convergencia débil para justificar la convergencia de esperanzas de funciones no acotadas o concluir convergencia en métricas más fuertes como la variación total sin condiciones adicionales.

Consecuencia

Garantiza la convergencia de integrales frente a funciones continuas acotadas y de funciones de distribución en puntos de continuidad; bajo tightness, las sucesiones admiten subfases con límites débiles.

Inversión

Convergencia en variación total o convergencia uniforme de densidades, que implica control más fuerte y convergencia de integrales de funciones no acotadas, pero no se deduce de la convergencia débil.

Límite

Definida para medidas en espacios métricos; no implica convergencia de momentos salvo que se cumplan condiciones de momentos y es más débil que la convergencia en normas más fuertes.

Tensión semántica

A menudo se contrasta con la convergencia en probabilidad o con la convergencia casi segura de variables aleatorias; la convergencia débil concierne a las leyes en lugar del comportamiento de trayectorias.

Síntesis

Un modo de convergencia de medidas que captura la convergencia de distribuciones mediante pruebas continuas y acotadas, central en teoremas límite y aproximaciones probabilísticas.