Une suite de mesures de probabilité (μ_n) sur un espace métrique converge faiblement vers μ si ∫ f dμ_n → ∫ f dμ pour toute fonction bornée et continue f ; équivalemment, les fonctions de répartition convergent aux points de continuité de la limite.

Principe

La convergence se teste par des observables bornées et continues plutôt que par des normes pointwise ou en variation totale, traduisant la convergence en loi des éléments aléatoires.

Démonstration

Les mesures empiriques construites à partir d'échantillons i.i.d. convergent faiblement vers la loi sous-jacente presque sûrement par des résultats de type Glivenko–Cantelli ; par exemple, les sommes normalisées peuvent converger en loi vers une loi stable limite sous conditions appropriées.

Mauvaise application

Utiliser la convergence faible pour justifier la convergence d'espérances de fonctions non bornées ou conclure à une convergence dans des métriques plus fortes comme la variation totale sans conditions supplémentaires.

Conséquence

Garantit la convergence des intégrales contre des fonctions test bornées et continues et des fonctions de répartition aux points de continuité ; sous compacité serrée, les suites admettent des sous‑suites convergentes faiblement.

Inversion

La convergence en variation totale ou la convergence uniforme des densités, qui impose un contrôle plus fort et la convergence d'intégrales de fonctions non bornées, mais qui n'est pas impliquée par la convergence faible.

Limite

Définie pour les mesures sur espaces métriques ; n'implique pas la convergence des moments sauf si des conditions sur les moments sont satisfaites et est plus faible que la convergence dans des normes plus fortes.

Tension sémantique

Souvent mise en contraste avec la convergence en probabilité ou la convergence presque sûre des variables aléatoires ; la convergence faible concerne les lois plutôt que le comportement des trajectoires.

Synthèse

Un mode de convergence des mesures capturant la convergence des lois via des tests bornés et continus, central pour les théorèmes limites et les approximations probabilistes.