Ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem Konfigurationsraum, das Gewichte proportional zu exp(-β H(ω)) gegenüber einem Referenzmaß zuordnet, wobei H eine Energie (Hamiltonfunktion) und β ein Invers-Temperatur-Parameter ist, sofern die Normierung (Partitionfunktion) endlich ist.

Prinzip

Konfigurationen nach ihrer Energie umgewichten, sodass bei positivem β niederenergetische Zustände exponentiell wahrscheinlicher sind; dies kodiert das Gleichgewicht der statistischen Mechanik für Systeme mit vielen Freiheitsgraden.

Demonstration

Beim Ising-Modell auf einem endlichen Gitter mit Hamiltonfunktion H(σ), die Kopplungen benachbarter Spins aufsummiert, ist das Gibbs-Maß auf Spin-Konfigurationen σ gegeben durch μ(σ) ∝ exp(-β H(σ)), und Erwartungen unter μ liefern thermodynamische Mittelwerte.

Fehlanwendung

Die Gibbs-Formel im endlichen Volumen anzuwenden, ohne die Partitionfunktion im unendlichen Volumen zu kontrollieren, oder sie für nichtgleichgewichtige Dynamiken einzusetzen, bei denen die Detailbilanz nicht gilt.

Konsequenz

Bietet einen Rahmen zur Berechnung thermodynamischer Erwartungen, Phasenkoexistenz und Korrelationszerfall; im Unendlich-Volumen-Limit charakterisieren Gibbs-Maße Gleichgewichtsphasen und Phasenübergänge.

Umkehrung

Ein mikrokanonisches Maß konditioniert auf eine exakte Energie und gewichtet Konfigurationen mit dieser Energie gleich; die Umkehrung des Gibbs-Ideals ersetzt die exponentielle Energiegewichtung durch eine scharfe Energiekonstraint.

Abgrenzung

Benötigt ein Energiefunktional und ein Referenzmaß, sodass exp(-β H) integrierbar ist; schließt angetriebene stationäre Zustände ohne gibbssche Dichte und Situationen aus, in denen Wechselwirkungen nicht normalisierbare Gewichte erzeugen.

Semantische Spannung

Spannung zu stationären Nichtgleichgewichtsmaßen: Beide sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen über Konfigurationen, aber Gibbs-Maße folgen aus Energiegewichtung und Detailbilanz, Nichtgleichgewichtsmaße nicht notwendigerweise.

Synthese

Ein Gibbs-Maß ist die Gleichgewichtsverteilung über Systemkonfigurationen, erhalten durch exponentielle Gewichtung nach Energie (mit Inverse-Temperatur β) und Normalisierung durch die Partitionfunktion, falls vorhanden.