Une mesure de probabilité sur un espace de configurations qui attribue un poids proportionnel à exp(-β H(ω)) par rapport à une mesure de référence, où H est une énergie (Hamiltonien) et β un paramètre d'inverse de température, lorsque la normalisation (fonction de partition) est finie.

Principe

Répondre les configurations selon leur énergie de sorte que les états de plus faible énergie soient exponentiellement plus probables pour β>0, codant la mécanique statistique d'équilibre pour des systèmes à nombreux degrés de liberté.

Démonstration

Pour un modèle d'Ising sur un réseau fini avec Hamiltonien H(σ) sommant les couplages entre voisins, la mesure de Gibbs sur les configurations de spins σ est μ(σ) ∝ exp(-β H(σ)), et l'espérance sous μ fournit les moyennes thermodynamiques.

Mauvaise application

Appliquer la formule de Gibbs en volume fini sans contrôler la fonction de partition en volume infini ou l'utiliser pour des dynamiques hors d'équilibre où l'équilibre détaillé n'est pas vérifié.

Conséquence

Fournit un cadre pour calculer des espérances thermodynamiques, la coexistence de phases et la décroissance des corrélations ; en limite de grand volume les mesures de Gibbs caractérisent les phases d'équilibre et leurs transitions.

Inversion

Une mesure microcanonique conditionne sur une énergie exacte et donne un poids égal aux configurations à cette énergie ; inverser l'idée de Gibbs remplace le réétiquetage exponentiel des énergies par une contrainte énergétique stricte.

Limite

Nécessite un fonctionnel d'énergie et une mesure de référence tels que exp(-β H) soit intégrable ; exclut les états stationnaires entraînés sans densité gibbsiènne et les cadres où les interactions produisent des poids non normalisables.

Tension sémantique

Tension avec les mesures stationnaires hors d'équilibre : les deux sont des distributions de probabilité sur les configurations, mais les mesures de Gibbs proviennent de la répartition par énergie et du principe de détail, alors que les états hors d'équilibre n'ont pas nécessairement cette structure.

Synthèse

Une mesure de Gibbs est la distribution d'équilibre sur les configurations d'un système obtenue par un rééchantillonnage exponentiel selon l'énergie (paramétré par β) et normalisée par la fonction de partition lorsque celle-ci existe.