Eine zufällige abzählbare Punktmenge auf einem Maßraum, so dass die Anzahl der Punkte in disjunkten messbaren Teilmengen unabhängig ist und jede Anzahl Poisson-verteilt mit dem Erwartungswert der Intensitätsmaßgabe ist; der Prozess wird durch sein Intensitätsmaß charakterisiert.

Prinzip

Vollständige räumliche Zufälligkeit: Unabhängigkeit der Zählungen auf disjunkten Mengen zusammen mit Poisson-Statistik für jede Menge, bestimmt durch ein Intensitätsmaß, das homogen (konstant) oder inhomogen (räumlich variierend) sein kann.

Demonstration

Auf R^d mit dem Lebesgue-Maß und konstanter Intensität λ>0 hat der homogene Poisson-Punktprozess für jedes beschränkte B die Wahrscheinlichkeit P(N(B)=k)=exp(-λ|B|)(λ|B|)^k/k!, und bedingt auf N(B)=k sind die Punkte gleichverteilt in B.

Fehlanwendung

Einen Poisson-Punktprozess zur Modellierung von Phänomenen mit starker Abstoßung oder Clusterbildung (z. B. Elektronen mit Coulomb-Abstoßung) zu verwenden und damit Wechselwirkungen zu ignorieren, die die Unabhängigkeit disjunkter Mengen verletzen.

Konsequenz

Erlaubt einfache funktionale Charakterisierungen (Laplace-Funktional, Void-Wahrscheinlichkeiten), Regeln für Thinning und Superposition und dient als Nullmodell der räumlichen Zufälligkeit, gegen das Interaktionsmodelle getestet werden.

Umkehrung

Ein determinantal oder Gibbs-Punktprozess kodiert Wechselwirkungen (Abstoßung oder Anziehung) zwischen Punkten; die Umkehrung der Poisson-Annahme ersetzt Unabhängigkeit durch eine festgelegte Korrelationsstruktur.

Abgrenzung

Gilt für Phänomene, bei denen Zählungen auf disjunkten Mengen annähernd unabhängig sind und das Intensitätsmaß σ-finit ist; schließt Prozesse mit festem Gesamtzähler (binomialer Prozess) oder solche aus, die nur durch bedingte Intensitäten abhängig von bisherigen Punkten definiert sind.

Semantische Spannung

Spannung zum binomialen Punktprozess: Beide setzen Punkte in eine Region, aber der binomiale Prozess konditioniert auf eine feste Punktzahl, während der Poisson-Prozess zufällige Poisson-Verteilungen der Zählungen hat.

Synthese

Ein Poisson-Punktprozess ist das kanonische Modell vollständiger Zufälligkeit auf einem Maßraum: unabhängige Poisson-Zählungen auf disjunkten Mengen mit Verteilungen, die durch ein Intensitätsmaß bestimmt werden.